Параллельность и перпендикулярность в пространстве
Стереометрия изучает фигуры и взаимное расположение объектов в трёхмерном пространстве.
Главная идея
Что нужно понять
Прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться; прямая и плоскость — пересекаться или быть параллельными.
Угол между прямой и плоскостью измеряют углом между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Плоскости перпендикулярны, если одна содержит прямую, перпендикулярную другой.
Для доказательства параллельности или перпендикулярности находят подходящие линии в гранях, применяют пространственный признак и не переносят свойства плоского рисунка без обоснования.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Пространственную задачу обычно сводят к плоской: строят сечение, проекцию или перпендикуляр и получают треугольник, где работают знакомые теоремы. Корректность зависит от доказанного взаимного расположения объектов, а не от вида рисунка.
Опорная формула
Расстояние от точки A до плоскости альфа равно длине перпендикуляра AH, опущенного из точки на эту плоскость.
Расстояние от точки A до плоскости α.Расшифровка
Обозначения и термины
- α, β
- плоскости
- a ∥ α
- прямая a параллельна плоскости α
- AH ⟂ α
- AH — перпендикуляр к плоскости
- d(A, α)
- расстояние от точки A до плоскости α
Алгоритм
Как решать задачи
- определить взаимное расположение объектов
- построить проекцию или перпендикуляр
- найти нужную величину в плоском сечении
От простого к сложному
Подробные примеры
Из точки A к плоскости проведён перпендикуляр AH = 4. Чему равно расстояние от A до плоскости?
- Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра.
- Перпендикуляр AH уже дан.
Ответ: 4
Наклонная AB к плоскости равна 13, её проекция HB равна 5. Найдите расстояние AH до плоскости.
- AH ⟂ HB, поэтому треугольник AHB прямоугольный.
- AH² = AB² − HB² = 169 − 25 = 144.
- AH = 12.
Ответ: 12
Самопроверка
Типичные ошибки
- считать скрещивающиеся прямые параллельными
- брать наклонную вместо перпендикуляра
- доверять перспективному рисунку без доказательства
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.