Вероятность и статистика
Выберите тему: объяснение, примеры, самопроверка и связанные модели собраны в одном уроке.
Темы выбранного раздела
Дроби и доли
Как записать часть целого, сократить дробь и сравнить доли — основа вероятностных расчётов.
6 мин · примеры и практикаПроценты без путаницы
Переводим проценты в доли, находим часть числа и различаем проценты и процентные пункты.
6 мин · примеры и практикаТаблицы данных
Читаем строки и столбцы, проверяем итог и превращаем записи в понятное сравнение.
7 мин · примеры и практикаСистематический перебор
Перечисляем варианты без пропусков и повторов, проверяя роль порядка и возвращения.
7 мин · примеры и практикаСреднее арифметическое
Находим значение равномерного распределения суммы и понимаем, когда среднее вводит в заблуждение.
8 мин · примеры и практикаМедиана
Ищем середину упорядоченного набора и сравниваем её со средним арифметическим.
7 мин · примеры и практикаМинимум, максимум и размах
Описываем крайние значения и ширину разброса, не теряя единицы и ограничения показателя.
6 мин · примеры и практикаСлучайный эксперимент
Описываем опыт, исходы и события так, чтобы вероятность отвечала на понятный вопрос.
7 мин · примеры и практикаКлассическая вероятность
Считаем благоприятные исходы — и проверяем главное условие, их равновозможность.
8 мин · примеры и практикаЧастота и вероятность
Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.
7 мин · примеры и практикаПротивоположное событие
Находим вероятность через «не произошло» и учимся точно отрицать условие.
6 мин · примеры и практикаМножества и события
Различаем элемент и подмножество, описываем событие набором подходящих исходов.
7 мин · примеры и практикаОбъединение и пересечение событий
Переводим «или» и «и» на язык исходов и учимся учитывать общую часть событий.
7 мин · примеры и практикаСложение вероятностей
Находим вероятность «A или B», вычитая повторно учтённое пересечение.
8 мин · примеры и практикаУсловная вероятность
Пересчитываем вероятность после получения информации и различаем условность и независимость.
9 мин · примеры и практикаНезависимые события
Проверяем, меняет ли знание одного события вероятность другого, и отличаем независимость от несовместимости.
8 мин · примеры и практикаУмножение вероятностей и дерево опыта
Учитываем условие на каждом шаге, перемножаем вероятности пути и складываем подходящие пути.
9 мин · примеры и практикаСхема Бернулли
Считаем ровно k успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью.
9 мин · примеры и практикаХотя бы один успех
Вычисляем вероятность одного или нескольких успехов через вероятность полного отсутствия успехов.
7 мин · примеры и практикаЗакон больших чисел
Почему частота стабилизируется в длинной серии и почему это не обязывает монету исправлять прошлое.
9 мин · примеры и практикаБином Ньютона
Разложение степени суммы, смысл коэффициентов и выбор нужного слагаемого без полного раскрытия.
6 мин · примеры и практикаБиномиальные коэффициенты
Симметрия, сумма и рекурсия чисел сочетаний: почему одни и те же числа возникают в разных задачах.
6 мин · примеры и практикаВероятность по данным: статистическая оценка
Оцениваем неизвестный шанс частотой и отделяем погрешность от систематического смещения.
6 мин · примеры и практикаВероятность: смысл и основные свойства
Читаем шкалу от нуля до единицы и проверяем согласованность вероятностной модели.
6 мин · примеры и практикаВзвешенное среднее
Среднее по частотам и объединение групп разного размера без потери информации.
6 мин · примеры и практикаВключение–исключение
Убираем двойной счёт в объединении нескольких множеств и возвращаем вычтенное лишний раз.
6 мин · примеры и практикаВыбор с возвращением и без
Как возвращение предмета меняет пространство исходов, зависимость и формулы вероятностей.
6 мин · примеры и практикаГеометрическая вероятность
При равномерном выборе точки сравниваем длины, площади или объёмы.
6 мин · примеры и практикаГраф, вершина и ребро
Как описывать сеть связей, считать степени и проверять число рёбер.
6 мин · примеры и практикаДерево случайного эксперимента
Читаем условные ветви, вычисляем полные пути и проверяем сумму конечных вероятностей.
6 мин · примеры и практикаДеревья и листья
Связный граф без циклов, единственный путь и подсчёт рёбер.
6 мин · примеры и практикаДесятичные дроби
Разряды, сравнение и перевод между десятичной и обыкновенной записью.
6 мин · примеры и практикаДиаграмма рассеивания
Как читать пары наблюдений, различать линейные и нелинейные связи и не путать связь с причиной.
6 мин · примеры и практикаДиаграммы Эйлера–Венна
Связываем области рисунка с событиями и проверяем четыре части для двух множеств.
6 мин · примеры и практикаДискретная случайная величина
Конечные и счётные наборы значений, таблица вероятностей и вероятность события.
6 мин · примеры и практикаДисперсия набора и исправленная оценка
Почему встречаются делители n и n−1 и какую величину вычисляет каждая формула.
6 мин · примеры и практикаДисперсия случайной величины
Теоретический разброс вокруг ожидания, удобная вычислительная формула и свойства.
6 мин · примеры и практикаДостоверные, невозможные и случайные события
Сравниваем событие с пространством исходов и различаем невозможность и нулевую вероятность.
6 мин · примеры и практикаЗакон распределения
Полное описание вероятностей случайной величины: таблица, функция распределения и плотность.
6 мин · примеры и практикаИнтеграл и площадь под графиком
Готовимся к плотности вероятности: различаем значение функции и накопленную площадь.
6 мин · примеры и практикаИсход и элементарный исход
Выбираем, какие результаты различать, и не путаем отдельный исход с событием.
6 мин · примеры и практикаКак статистика вводит в заблуждение
Смещение отбора, проценты без знаменателя, обрезанные оси и границы причинных выводов.
6 мин · примеры и практикаКвантили, квартили и процентили
Порог по доле данных и явное правило интерполяции для небольшой выборки.
6 мин · примеры и практикаКомбинаторное правило произведения
Считаем последовательные решения по числу продолжений на каждом шаге.
6 мин · примеры и практикаКомбинаторное правило суммы
Складываем числа вариантов для непересекающихся альтернатив и проверяем, не посчитано ли что-то дважды.
6 мин · примеры и практикаКоординаты и чтение графиков
Читаем оси и точки, различаем график зависимости и траекторию накопленной частоты.
6 мин · примеры и практикаЛогика: условия, отрицание, И и ИЛИ
Переводим словесные условия в проверяемые утверждения и правильно строим отрицания.
6 мин · примеры и практикаМатематическое ожидание
Теоретическое среднее случайной величины, линейность и отличие от гарантированного результата.
6 мин · примеры и практикаМода и несколько мод
Наиболее частое значение данных, ничьи и отличие от среднего и медианы.
6 мин · примеры и практикаНаблюдения и сбор данных
Генеральная совокупность, выборка, единица наблюдения и надёжное планирование исследования.
6 мин · примеры и практикаНаиболее вероятное число успехов
Мода биномиального распределения и случай двух одинаковых максимумов.
6 мин · примеры и практикаНезависимые испытания
Что значит независимость результатов нескольких опытов и когда вероятности можно перемножать.
6 мин · примеры и практикаНепрерывная случайная величина
Вероятности интервалов, нулевая вероятность отдельной точки и роль точности измерений.
6 мин · примеры и практикаНеравенство Маркова
Верхняя граница вероятности большого значения по одному ожиданию неотрицательной величины.
6 мин · примеры и практикаНеравенство Чебышёва
Универсальная оценка отклонения от среднего при конечной дисперсии.
6 мин · примеры и практикаОкругление и точность
Отделяем точный результат от приближения и оцениваем погрешность округления.
6 мин · примеры и практикаОперации со случайными величинами
Как получить закон преобразованной величины и почему для суммы важна зависимость.
6 мин · примеры и практикаОриентированные графы
Стрелки, входящие и исходящие степени, достижимость и вероятностные переходы.
6 мин · примеры и практикаОтношения и пропорции
Сравниваем величины делением и восстанавливаем части по известному отношению.
6 мин · примеры и практикаПервый успех
Вероятность первого успеха на заданном испытании и связь с геометрической моделью.
6 мин · примеры и практикаПересечение событий
Выделяем совместное выполнение условий и различаем его вероятность с условной вероятностью.
6 мин · примеры и практикаПерестановки без повторений
Упорядочиваем все различные объекты и следим, считаются ли позиции различимыми.
6 мин · примеры и практикаПерестановки с повторяющимися элементами
Убираем из факториального подсчёта перестановки одинаковых объектов.
6 мин · примеры и практикаПланарные графы и плоские рисунки
Когда рёбра можно нарисовать без пересечений и что считает формула Эйлера.
6 мин · примеры и практикаПлотность вероятности
Почему вероятность — площадь, а не высота графика, и как проверить корректность плотности.
6 мин · примеры и практикаПолная группа событий
Разбиваем пространство на непересекающиеся случаи для формулы полной вероятности.
6 мин · примеры и практикаПространство элементарных исходов
Строим Ω для одного и нескольких шагов, учитывая полноту, порядок и ограничения.
6 мин · примеры и практикаРазмещения без повторений
Выбираем k разных объектов из n и учитываем порядок выбранных.
6 мин · примеры и практикаРазмещения с повторениями
Считаем упорядоченные последовательности, в которых элемент может использоваться снова.
6 мин · примеры и практикаРазность событий
Находим исходы, где происходит A, но не B, и не теряем порядок операций.
6 мин · примеры и практикаСвязность, путь, цепь и цикл
Как договориться о терминах обхода графа и находить кратчайшее расстояние.
6 мин · примеры и практикаСлучайная величина
Как числовая характеристика опыта превращает исходы в удобную вероятностную модель.
6 мин · примеры и практикаСлучайная изменчивость и гистограмма
Как увидеть разброс данных, сгруппировать наблюдения и правильно читать столбцы гистограммы.
6 мин · примеры и практикаСлучайность и вероятностная модель
Отделяем неизвестный результат от устройства опыта и понимаем, зачем нужна модель.
6 мин · примеры и практикаСобытие как множество исходов
Задаём проверяемое условие и связываем словесное описание с пространством исходов.
6 мин · примеры и практикаСовместимые и несовместимые события
Проверяем, могут ли два условия выполниться в одном исходе, и отличаем это от независимости.
6 мин · примеры и практикаСочетания без повторений
Считаем выбор подмножества, когда порядок объектов не создаёт нового результата.
6 мин · примеры и практикаСочетания с повторениями
Как считать неупорядоченные наборы, если каждый вид можно брать несколько раз.
6 мин · примеры и практикаСреднее гармоническое
Как усреднять скорости на равных расстояниях и почему обычное среднее бывает неверным.
6 мин · примеры и практикаСреднеквадратическое отклонение
Разброс в исходных единицах, изменение масштаба и отличие от ошибки среднего.
6 мин · примеры и практикаСтепени и логарифмы
Переводим повторное умножение в степень и находим число испытаний с помощью логарифма.
6 мин · примеры и практикаСтолбчатые и круговые диаграммы
Переводим таблицы в графическое сравнение и проверяем подписи, масштабы и доли.
6 мин · примеры и практикаТеорема Бернулли о частоте
Строгая связь частоты успеха с вероятностью в независимой серии и конечная оценка точности.
6 мин · примеры и практикаТреугольник Паскаля
Как строить таблицу сочетаний сложением и читать её строки в задачах выбора и испытаний.
6 мин · примеры и практикаУспехи в заданном диапазоне
Вероятности «не менее», «не более» и «от a до b» для числа успехов.
6 мин · примеры и практикаФакториал и нулевой случай
Сворачиваем убывающее произведение в n! и объясняем, почему 0! равно единице.
6 мин · примеры и практикаФормула Байеса
Обновляем вероятность причины после наблюдения, учитывая исходные веса и правдоподобие.
6 мин · примеры и практикаФормула полной вероятности
Собираем вероятность события из разных источников с учётом их весов.
6 мин · примеры и практикаФункция и знак суммы
Разбираем индексы, пределы суммирования и подстановку в функцию.
6 мин · примеры и практикаФункция распределения
Как накопленная вероятность описывает дискретные и непрерывные величины и определяет интервальные вероятности.
6 мин · примеры и практикаЦентральная предельная теорема
Почему нормальная форма возникает у стандартизованных сумм и какие условия нельзя опускать.
6 мин · примеры и практикаЧисло успехов
Случайная величина, считающая успехи в серии Бернулли, и вероятность точного результата.
6 мин · примеры и практикаЭйлеров обход
Когда можно пройти каждое ребро ровно один раз и как степени задают начало и конец.
6 мин · примеры и практикаЯщик с усами
Квартили, межквартильный размах и почему точка за усами ещё не является ошибкой.
6 мин · примеры и практикаВ справочнике опубликовано тем: 94. Новые главы будут добавляться после проверки материала.