Степени и логарифмы

От повторения к степени

Для положительного целого $n$ степень $a^n$ означает произведение $n$ одинаковых множителей. При $a\ne0$ принято $a^0=1$ и $a^{-n}=1/a^n$. В вероятности степень $q^n$ часто возникает как вероятность $n$ независимых неудач, если каждая имеет вероятность $q$.

Область определения важна. Выражение $\ln x$ в действительных числах определено только при $x>0$. Поэтому граничные вероятности $p=0$ и $p=1$ нужно рассматривать отдельно, а не подставлять бездумно в логарифмическую формулу.

Обратная задача

Логарифм обращает возведение в степень: $\log_2 8=3$, поскольку $2^3=8$. Натуральный логарифм $\ln$ использует основание $e$. При решении отношения двух логарифмов можно использовать любое одно и то же допустимое основание.

Нужно добиться вероятности хотя бы одного успеха не ниже $r$. Для независимых одинаковых попыток это $1-(1-p)^n\ge r$. Следовательно, $(1-p)^n\le1-r$. Логарифм сохраняет порядок, но последующее деление на отрицательное $\ln(1-p)$ меняет знак неравенства.

Проверяем целую границу

Число попыток целое. Найденную дробную нижнюю границу округляют вверх и проверяют подстановкой это число и предыдущее. Это также защищает от машинного округления около целого.

Не применяйте правило $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$: оно неверно. Верное правило для положительных чисел — $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Статья служит математической подготовкой; конкретный обязательный класс по этой справочной заметке не объявляется.

Три примера

1. $0{,}5^4=1/16=0{,}0625$.
2. $\log_{10}0{,}001=-3$, потому что $10^{-3}=0{,}001$.
3. При $p=0{,}2$ для уровня $r=0{,}9$ нужно $n\ge\ln0{,}1/\ln0{,}8\approx10{,}32$. Минимум $11$: при десяти попытках $1-0{,}8^{10}<0{,}9$, при одиннадцати уже больше.