Наиболее вероятное число успехов

Вероятнее остальных

Мода биномиального распределения — число успехов, вероятность которого максимальна среди всех значений. Максимальная отдельная вероятность может быть небольшой: «самый вероятный» не означает «произойдёт наверняка» или «произойдёт чаще всех остальных вместе».

Для $0<p<1$ отношение соседних вероятностей равно $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{n-k}{k+1}\frac p{1-p}$. Пока оно больше единицы, вероятности растут; после перехода ниже единицы убывают. Отсюда модами являются целые числа $m$ в промежутке $(n+1)p-1\le m\le(n+1)p$.

Один или два максимума

Если $(n+1)p$ не целое, мода единственная: $\lfloor(n+1)p\rfloor$. Если это целое $r$, максимумы достигаются в $r-1$ и $r$. При $p=0$ единственная мода 0, при $p=1$ — $n$: границы рассматривают отдельно. Это дополнительная тема исследования биномиальной модели.

Три примера

1. При $n=10$, $p=0.3$ получаем $(n+1)p=3.3$. Наиболее вероятны ровно три успеха.
2. При $n=5$, $p=0.5$ произведение равно 3: моды 2 и 3. Коэффициенты строки Паскаля для них одинаковы: 10 и 10.
3. При $n=2$, $p=0.4$ мода равна 1, хотя ожидание $np=0.8$. Среднее теоретическое значение не обязано быть допустимым результатом.

Ошибки

Округление $np$ не является общим правилом. При $n=2$ и $p=0.3$ среднее 0.6 округляется до 1, но $(n+1)p=0.9$, и единственная мода — 0. Когда мод две, нужно назвать обе. Для других распределений эта формула не действует: максимум исследуют заново.