Вероятность и статистика · Повторные испытания

Число успехов

Случайная величина, считающая успехи в серии Бернулли, и вероятность точного результата.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Модель отвечает на вопросы о числе попаданий, дефектов и срабатываний в фиксированной серии. Она объединяет вероятность конкретного порядка pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ с комбинаторным подсчётом всех порядков.

Главная идея. Биномиальная величина X считает успехи в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью p. Для ровно k успехов вероятность одной последовательности умножается на число C(n,k) возможных позиций успехов.

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте четыре предпосылки: фиксированное n, два исхода каждого испытания, постоянное p и независимость результатов.
Для заданного k найдите вероятность одного порядка pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ и число его перестановок C(n,k).
Перемножьте величины, проверьте 0 ≤ k ≤ n и при необходимости убедитесь, что сумма вероятностей всех k равна единице.

Частая ошибка. Вычислить pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ и забыть коэффициент C(n,k), отвечая вероятностью одного конкретного порядка вместо любого расположения k успехов.

Как проверить себя. Выберите k позиций успехов среди n: коэффициент C(n,k) учитывает каждый допустимый порядок ровно один раз; повторно умножать на k! после этого нельзя.

Схема к теме

Наглядная модель: Число успехов

Случайная величина, считающая успехи в серии Бернулли, и вероятность точного результата.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для трёх честных бросков объясните вероятность ровно двух орлов, перечислив три последовательности и связав их с коэффициентом C(3,2) и множителем (1/2)³.

В хорошем объяснении есть:

Перечислены ООР, ОРО и РОО как три несовместимых порядка.
Каждый путь имеет вероятность 1/8, а сумма или формула даёт 3/8.

Что именно считаем

Число успехов $X$ — количество испытаний, в которых произошло заранее выбранное событие «успех». Слово не означает положительной оценки: успехом можно назвать обнаружение брака. До серии $X$ неизвестно, после серии это целое число от 0 до $n$ .

При независимых испытаниях с одной вероятностью успеха $p$ величина $X$ имеет биномиальное распределение. Конкретная последовательность из $k$ успехов и $n-k$ неудач имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$ . Таких последовательностей $\binom nk$ , поэтому для «ровно $k$ » нужно умножить на число сочетаний.

Предпосылки

Количество испытаний фиксировано заранее; вероятность успеха не меняется после наблюдений. При $p=0$ всегда $X=0$ , при $p=1$ всегда $X=n$ . На границах удобнее рассуждать непосредственно, не споря о записи $0^0$ . Сумма вероятностей всех значений равна единице по биному Ньютона.

Три примера

В трёх бросках честной монеты для ровно двух орлов есть три позиции единственной решки: $P(X=2)=3/8$ .
В четырёх независимых испытаниях $p=0.2$ . Вероятность ровно одного успеха равна $4\cdot0.2\cdot0.8^3=0.4096$ .
В пяти испытаниях с $p=0.6$ вероятность всех пяти успехов равна $0.6^5=0.07776$ . Коэффициент $\binom55=1$ : порядок единственный.

Частые ошибки

Вероятность одной последовательности не отвечает на вопрос о любом порядке. Повторное умножение на факториал, наоборот, учитывает последовательности многократно. При разных вероятностях успеха обычная биномиальная формула не подходит. При выборке без возвращения из конечной совокупности нужна другая модель, хотя само название «число успехов» остаётся корректным.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}

Формула словами: X — число успехов в n независимых испытаниях с общей вероятностью p; k = 0,…,n.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Схема Бернулли Формула Бернулли Биномиальные вероятности

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.