Вероятность и статистика · Статистика и данные

Математическое ожидание

Теоретическое среднее случайной величины, линейность и отличие от гарантированного результата.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Ожидание сравнивает долгосрочный средний результат игр и выплат и позволяет складывать вклады случайных величин. Линейность действует без независимости, если ожидания существуют.

Главная идея. Математическое ожидание — среднее возможных значений, взвешенное их вероятностями. Это характеристика закона до испытания, поэтому она может не быть возможным отдельным результатом, как 3,5 очка у кости.

План рассуждения и проверка понимания

Составьте полный закон значений xᵢ и вероятностей pᵢ, проверив нормировку и единицы измерения.
Умножьте каждое значение на его вероятность и сложите произведения; для чистого выигрыша включите цену или затраты со знаком минус.
Для суммы используйте линейность E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c без лишнего требования независимости.
Истолкуйте ответ как теоретический средний уровень, а разброс и риск оцените отдельными характеристиками.

Частая ошибка. Считать ожидание 3 обязательной выплатой следующего опыта, хотя случайная величина принимает только 0 или 10 и значение 3 вообще невозможно.

Как проверить себя. Читайте 3 как средний результат большого числа повторений в устойчивой модели; отдельный опыт по-прежнему даёт одно из значений закона.

Схема к теме

Наглядная модель: Математическое ожидание

Теоретическое среднее случайной величины, линейность и отличие от гарантированного результата.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Оцените билет с выплатой 100 с вероятностью 0,1 и ценой 12: объясните ожидание чистого результата −2 и отличие от гарантированного убытка.

В хорошем объяснении есть:

Ожидаемая выплата равна 100 · 0,1 + 0 · 0,9 = 10, затем вычтена постоянная цена 12.
Отрицательное ожидание описывает средний результат повторений, но отдельный билет может дать выигрыш 88 или убыток 12.

Среднее по вероятностям

Математическое ожидание — среднее значение, взвешенное вероятностями распределения. В конечном дискретном случае каждое возможное значение умножают на его вероятность и складывают. Это характеристика модели до опыта, а не среднее уже собранной выборки.

Ожидание может не совпадать ни с одним возможным результатом. Для честной кости оно равно 3.5, хотя такого числа очков нет. При подходящих условиях средние большого числа независимых повторений приближаются к ожиданию; один результат такого обещания не получает.

Линейность и существование

Ожидание суммы равно сумме ожиданий даже для зависимых величин, если ожидания конечны. Постоянный сдвиг переносит среднее, масштабирование умножает его. Для бесконечных законов нужна проверка сходимости: бесконечная сумма не автоматически задаёт конечное число. Для величины с плотностью аналогом служит интеграл $\int xf(x)\,dx$ с соответствующим условием интегрируемости.

Три примера

За опыт получаем 0 с вероятностью 0.7 и 10 с вероятностью 0.3. Ожидание $0\cdot0.7+10\cdot0.3=3$ . Это не обещание получить три единицы в следующем опыте.
В билете выплата 100 с вероятностью 0.1 и 0 иначе, цена билета 12. Ожидание чистого результата $100\cdot0.1-12=-2$ : цену нужно вычесть.
В десяти испытаниях вероятность успеха каждого 0.4. Число успехов — сумма десяти индикаторов, поэтому ожидание равно 4 даже без независимости. Для биномиального закона независимость уже нужна.

Ошибки

В общем случае $E[X^2]\ne(E[X])^2$ и $E[1/X]\ne1/E[X]$ . Для произведения равенство $E[XY]=E[X]E[Y]$ требует дополнительных условий, например независимости и интегрируемости. Среднее не показывает риск и разброс: две игры с одинаковым ожиданием могут иметь совершенно разные распределения.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

E[X]=\sum_i x_ip_i

Формула словами: Для конечного закона; в счётном случае конечное ожидание гарантирует сумма |xᵢ|pᵢ < ∞.

E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c

Формула словами: Линейность для величин с конечными ожиданиями; независимость не нужна.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика Математическое ожидание

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.