Вероятность и статистика · Статистика и данные

Дисперсия случайной величины

Теоретический разброс вокруг ожидания, удобная вычислительная формула и свойства.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Дисперсия количественно описывает теоретическую изменчивость и удобно складывается для независимых величин. Она лежит в основе стандартного отклонения, оценок хвоста и сравнения моделей с одинаковым средним.

Главная идея. Дисперсия Var(X) — средний квадрат отклонения случайной величины от её ожидания. Её также вычисляют как E[X²]−(E[X])²; сдвиг не меняет разброс, а масштаб a умножает дисперсию на a².

План рассуждения и проверка понимания

Найдите E[X], затем для каждого значения вычислите квадрат отклонения и усредните его с вероятностями либо отдельно получите E[X²].
Используйте Var(X)=E[X²]−(E[X])² и проверьте, что все вероятности нормированы и второй момент конечен.
Для aX+b примените множитель a², а для суммы складывайте дисперсии только после проверки независимости или нулевой ковариации.

Частая ошибка. Прибавлять константу b к дисперсии, умножать её на a вместо a² или смешивать теоретическую Var(X) с выборочной формулой и делителем n−1.

Как проверить себя. Сдвиг одинаков для всех значений и исчезает после центрирования; масштаб действует на отклонения как a и на их квадраты как a², а тип дисперсии задаётся задачей.

Схема к теме

Наглядная модель: Дисперсия случайной величины

Теоретический разброс вокруг ожидания, удобная вычислительная формула и свойства.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для X, равной 0 или 2 с вероятностями по 1/2, вычислите ожидание и дисперсию двумя формулами и объясните, почему оба способа дают единицу.

В хорошем объяснении есть:

Через отклонения от E[X]=1 получены два квадрата по единице.
Через моменты получено E[X²]=2 и вычтен квадрат ожидания 1.

Средний квадрат отклонения

Дисперсия измеряет разброс распределения вокруг математического ожидания. Из каждого значения вычитают ожидание, возводят отклонение в квадрат и усредняют по вероятностям. Квадраты неотрицательны, поэтому дисперсия не может быть отрицательной.

Почему не усреднить обычные отклонения? Их положительные и отрицательные вклады взаимно уничтожаются: $E[X-E[X]]=0$ . Квадрат сохраняет величину отклонений и усиливает вклад далёких значений. Если $X$ измеряется в метрах, дисперсия выражается в квадратных метрах.

Свойства и ограничения

При конечном втором моменте $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ . Для независимых величин с конечными дисперсиями дисперсия суммы равна сумме дисперсий. При зависимости появляется дополнительный член, поэтому простое сложение не универсально. Дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда величина постоянна с вероятностью 1.

Три примера

$X$ равно 0 или 2 с вероятностями по $1/2$ . Ожидание 1, квадраты отклонений оба равны 1, значит дисперсия 1.
Индикатор с вероятностью единицы $p=0.3$ имеет $E[X]=E[X^2]=0.3$ . Дисперсия $0.3-0.09=0.21$ .
Если $\operatorname{Var}(X)=4$ , то $\operatorname{Var}(3X+10)=9\cdot4=36$ . Прибавление 10 ничего не добавляет к разбросу.

Не путайте объекты

Дисперсия теоретического закона использует вероятности. Дисперсия наблюдаемого набора использует частоты и делитель $n$ ; исправленная оценка неизвестной дисперсии — делитель $n-1$ . Это разные задачи. При вычислениях с почти одинаковыми большими числами формула «среднее квадратов минус квадрат среднего» может терять точность; прямое центрирование устойчивее.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2

Формула словами: Для величины с конечным вторым моментом.

\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

Формула словами: Сдвиг не меняет разброс, масштабирование действует квадратом.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика Дисперсия

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.