Умблик
Справочник вероятности
Статистика и данные
Вероятность и статистика · Статистика и данные

Взвешенное среднее

Среднее по частотам и объединение групп разного размера без потери информации.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Оно корректно объединяет оценки с разной значимостью, частотные таблицы и группы неодинакового объёма. Метод восстанавливает общую сумму вместо ошибочного среднего средних.

Главная идея. Взвешенное среднее умножает каждое значение xᵢ на его вес wᵢ, складывает вклады и делит на сумму весов. При объединении групп весом среднего служит размер соответствующей группы.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Определите смысл и единицы весов, проверьте их неотрицательность и убедитесь, что сумма весов положительна.
  2. Вычислите каждый вклад wᵢxᵢ, сложите вклады и разделите на общую сумму весов, не требуя заранее нормировки к единице.
  3. Проверьте результат между минимумом и максимумом значений с положительным весом и восстановите исходную сумму обратным умножением.

Частая ошибка. Усреднять средние двух групп пополам при численностях 10 и 30 или делить сумму взвешенных вкладов на число групп вместо суммы весов.

Как проверить себя. Групповое среднее представляет столько наблюдений, сколько в группе: используйте (10x₁+30x₂)/40; знаменателем всегда служит общий вес, а не число строк.

Схема к теме

Наглядная модель: Взвешенное среднее

Среднее по частотам и объединение групп разного размера без потери информации.

Наглядная модель: Взвешенное среднееСреднее по частотам и объединение групп разного размера без потери информации.3 наблюденияA7 наблюденияB5 наблюденияC
  • A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
  • B: 7 наблюдения — наибольшее значение
  • C: 5 наблюдения — между крайними
Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните объединение групп из 10 человек со средним 60 и 30 человек со средним 80: восстановите суммы баллов и покажите, почему общий ответ 75, а не 70.

В хорошем объяснении есть:

  • Средние умножены на размеры групп, получены суммы 600 и 2400.
  • Общая сумма 3000 разделена на 40 наблюдений, а не на две группы.

Что делает вес

Взвешенное среднее учитывает, что значения могут представлять разное число наблюдений или иметь разную заранее заданную значимость. Для значений xix_i и неотрицательных весов wiw_i складывают произведения wixiw_ix_i и делят на сумму весов. При одинаковых положительных весах получается обычное среднее арифметическое.

Если вес — частота, произведение восстанавливает вклад одинаковых наблюдений в общую сумму. Если вес — доля, сумма всех весов равна 1 и дополнительное деление ничего не меняет. Значение с нулевым весом в результат не входит.

Объединение групп

Среднее двух групп нельзя обычно усреднять пополам. Весом группового среднего должен быть размер группы. Так восстанавливается сумма всех наблюдений: среднее группы, умноженное на её размер. Для групп с неизвестными размерами общее среднее по одним только средним не определяется.

Три примера

  1. Оценка 3 встретилась дважды, оценка 5 — трижды. Среднее (2⋅3+3⋅5)/5=21/5=4.2(2\cdot3+3\cdot5)/5=21/5=4.2.
  2. В группе из 10 человек средний результат 60, в группе из 30 — 80. Общее среднее (10⋅60+30⋅80)/40=75(10\cdot60+30\cdot80)/40=75, а не 70.
  3. Итог состоит из проекта с весом 0.4 и теста с весом 0.6. При результатах 90 и 70 итог равен 0.4⋅90+0.6⋅70=780.4\cdot90+0.6\cdot70=78.

Проверки

При неотрицательных весах среднее лежит между минимальным и максимальным значением с положительным весом. Умножение всех весов на одну положительную константу результат не меняет. Отрицательные веса могут выводить результат за диапазон, поэтому не входят в обычное определение здесь. Проценты следует переводить в доли или делить на общую сумму процентных весов, но не смешивать шкалы.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

xˉw=∑iwixi∑iwi\bar x_w=\frac{\sum_iw_ix_i}{\sum_iw_i}

Формула словами: Неотрицательные веса wᵢ с положительной суммой; веса задают вклад каждого значения.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.