Вероятность и статистика · Статистика и данные

Среднее арифметическое

Находим значение равномерного распределения суммы и понимаем, когда среднее вводит в заблуждение.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Среднее позволяет сравнивать группы, восстанавливать общую сумму по числу наблюдений и находить неизвестное значение. Одновременно важно видеть его слабость: один далёкий выброс способен заметно сдвинуть результат.

Главная идея. Среднее арифметическое показывает, какое значение получил бы каждый объект, если общую сумму распределить поровну. Повторы входят в расчёт столько раз, сколько они наблюдались, поэтому среднее зависит от всей выборки.

План рассуждения и проверка понимания

Уточните, какие значения относятся к одной совокупности, и посчитайте все наблюдения вместе с повторяющимися значениями.
Сложите наблюдения в исходных единицах, разделите сумму на их количество n и сохраните те же единицы в ответе.
Если объединяются группы, восстановите их суммы как n₁x̄₁ и n₂x̄₂, сложите суммы и разделите на общее число объектов.
Сравните среднее с минимумом, максимумом и при наличии выбросов с медианой, чтобы не принять его за обязательное типичное значение.

Частая ошибка. Взять обычное среднее двух групповых средних 6 и 1, хотя в первой группе два человека, а во второй восемь, и получить неверные 3,5.

Как проверить себя. Взвешивайте каждое групповое среднее численностью группы: (2 · 6 + 8 · 1) / 10 = 2; равные веса допустимы лишь при равных размерах групп.

Схема к теме

Наглядная модель: Среднее арифметическое

Находим значение равномерного распределения суммы и понимаем, когда среднее вводит в заблуждение.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему у набора 3, 4, 50 среднее равно 19, но это число плохо описывает обычное наблюдение, и какую дополнительную характеристику стоит посмотреть.

В хорошем объяснении есть:

Показаны сумма 57 и деление на три, а не усреднение только различных или близких значений.
Отмечено влияние выброса 50 и предложено сопоставить среднее с медианой 4 и исходным рядом.

Если распределить сумму поровну

Среднее арифметическое набора чисел — их сумма, делённая на количество. Если три человека собрали $2$ , $5$ , $8$ яблок, всего получилось $15$ . При равном распределении каждый получил бы $15/3=5$ . Это и есть среднее, хотя исходные количества были разными.

Каждое наблюдение участвует один раз, включая повторяющиеся значения. У набора $2,2,8$ среднее $(2+2+8)/3=4$ , а не среднее двух различных значений $2$ и $8$ .

Что можно узнать из среднего

Если известно среднее $\overline x$ и число наблюдений $n$ , можно восстановить сумму $n\overline x$ . Для $6$ наблюдений со средним $4$ сумма равна $24$ . Сам набор при этом неизвестен: одну и ту же сумму могут иметь разные данные.

Среднее находится между минимумом и максимумом. Если ко всем значениям добавить $c$ , среднее тоже увеличится на $c$ . Единицы среднего совпадают с единицами исходных данных: среднее время измеряется во времени, а не в «процентах времени».

Где возникает путаница

Среднее не обязано быть одним из наблюдавшихся значений. У результатов $1,2$ оно равно $1{,}5$ . «В среднем $1{,}5$ посещения» не означает, что кто-то совершил половину посещения: число описывает группу.

Выброс может сильно сдвинуть среднее. У набора $3,4,5$ среднее $4$ , а у $3,4,50$ — $19$ . Чтобы описать типичный уровень, полезно сопоставить среднее с медианой и посмотреть на сами значения.

Средние групп нельзя безусловно усреднять пополам. Если в маленькой группе два человека, а в большой восемь, большая группа должна иметь больший вес. Для таблицы частот каждое значение умножают на число его наблюдений.

Три примера

Время четырёх поездок: $12$ , $15$ , $9$ , $16$ минут. Среднее $(12+15+9+16)/4=13$ минут.
У трёх наблюдений среднее равно $7$ . Два значения — $4$ и $8$ . Общая сумма $21$ , поэтому третье значение $21-4-8=9$ .
В группе из $2$ человек среднее число книг $6$ , в группе из $8$ — $1$ . Общая сумма $2\cdot6+8\cdot1=20$ , среднее $20/10=2$ . Простое среднее $6$ и $1$ , равное $3{,}5$ , здесь неверно.

Среднее наблюдений и математическое ожидание вероятностной модели связаны, но не тождественны: первое считается по данным, второе — по закону распределения.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\overline x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad n\ge1

Формула словами: Складываем все наблюдения и делим на их количество, учитывая повторы.

\overline x=\frac{n_1\overline x_1+n_2\overline x_2}{n_1+n_2}

Формула словами: Средние двух групп объединяем с учётом численности каждой группы.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.