Дроби и доли

Часть и целое

Дробь $a/b$ показывает результат деления $a$ на $b$. Когда речь о доле, знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Половина пиццы и половина яблока — одна и та же доля, но разные количества еды.

В записи $3/8$ число $3$ — числитель, $8$ — знаменатель. Восемь одинаковых карточек составляют целое; три выбранные карточки составляют $3/8$ этого набора. Если части не равны по величине, их количество само по себе ещё не задаёт долю площади или массы.

Один смысл, разные записи

У дробей $1/2$, $2/4$ и $50/100$ одинаковое значение. Умножение числителя и знаменателя на одно ненулевое число меняет разбиение, но сохраняет долю. Обратное действие — сокращение. Например, $6/15=2/5$: оба числа делим на $3$.

Десятичная запись получается делением: $3/8=0{,}375$. Не каждая дробь имеет конечную десятичную запись: $1/3=0{,}333\ldots$. В точном ответе удобнее оставить $1/3$, а не незаметно заменить её округлением $0{,}33$.

Сравнение и вычисления

При одинаковом положительном знаменателе больше та дробь, у которой больше числитель. Для разных знаменателей можно привести дроби к общему: $2/3=8/12$, а $3/4=9/12$, поэтому $2/3<3/4$.

Складываем части одного размера: $1/4+2/4=3/4$. При разных знаменателях сначала меняем запись: $1/2+1/3=3/6+2/6=5/6$. Сложить отдельно числители и знаменатели нельзя.

Чтобы найти $3/5$ от $20$, вычисляем $20\cdot3/5=12$. Чтобы узнать долю $12$ от $20$, вычисляем $12/20=3/5$. Это два разных вопроса к одним данным.

Где встречается в вероятности

Если из пяти равновозможных исходов три подходят, доля подходящих равна $3/5$. Вероятностная интерпретация требует равновозможности; сама арифметика дробей от неё не зависит. Пример со случайным выбором — подготовка к вероятности, а не отдельная обязательная тема 5 класса.

Три примера

1. Из $12$ равных долек съели $3$. Доля съеденного: $3/12=1/4$.
2. В наборе $18$ красных карточек из $30$. Красные составляют $18/30=3/5=0{,}6$.
3. Треть набора и четверть того же набора не пересекаются. Вместе это $1/3+1/4=7/12$ набора. Условие о непересечении не позволяет посчитать одну часть дважды.