Вероятность и статистика · Основы вероятности

Классическая вероятность

Считаем благоприятные исходы — и проверяем главное условие, их равновозможность.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Метод решает задачи о честных кубиках, картах и равномерном выборе. Он учит согласованно считать числитель и знаменатель и не принимать одинаковые названия результатов за одинаковые вероятности.

Главная идея. В конечной модели с равновозможными исходами классическая вероятность равна доле благоприятных исходов среди всех исходов. Главная работа состоит не в делении, а в выборе правильных равновозможных объектов.

План рассуждения и проверка понимания

Опишите эксперимент и конечное пространство исходов так, чтобы каждый исход имел одну и ту же вероятность.
Переведите событие в подмножество исходов и посчитайте благоприятные и все исходы по одному правилу — с порядком или без него.
Вычислите m/n, сократите дробь и проверьте границы 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Если равновозможность не обоснована, остановитесь: количество названных вариантов само по себе не задаёт вероятность.

Частая ошибка. Считать числа орлов 0, 1 и 2 в двух бросках тремя равновозможными исходами и получить вероятность одного орла 1/3.

Как проверить себя. Возьмите равновозможные последовательности ОО, ОР, РО, РР; событию ровно одного орла соответствуют две из четырёх, поэтому ответ 1/2.

Схема к теме

Наглядная модель: Классическая вероятность

Считаем благоприятные исходы — и проверяем главное условие, их равновозможность.

Классическая вероятность → классическая вероятность
Классическая вероятность → равновозможность
Классическая вероятность → благоприятные исходы
Классическая вероятность → m/n

Схема связывает понятие «Классическая вероятность» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Разберите вероятность суммы 7 на двух честных кубиках: объясните, почему знаменатель равен 36 и почему пары (1,6) и (6,1) считаются разными.

В хорошем объяснении есть:

Исходом выбрана упорядоченная пара результатов, поэтому имеется 6 · 6 равновозможных пар.
Названы шесть благоприятных пар и получена вероятность 6/36 = 1/6.

Доля подходящих исходов

Если в опыте конечное число равновозможных исходов, вероятность события равна доле исходов, при которых оно происходит. Для честного шестигранного кубика каждый из шести исходов имеет вероятность $1/6$ . Событие «число больше четырёх» содержит два исхода: $5$ и $6$ . Значит, его вероятность $2/6=1/3$ .

Буква $n$ обозначает количество всех исходов, $m$ — благоприятных. «Благоприятный» означает подходящий условию, а не хороший для человека. Если изучаем неисправность, неисправный прибор — благоприятный исход для этого события.

Почему равновозможность необходима

У погоды можно назвать два результата: дождь и отсутствие дождя. Из этого не следует вероятность дождя $1/2$ . Количество названий не определяет их вероятности.

При двух независимых бросках честной монеты четыре равновероятные последовательности: $\text{ОО}$ , $\text{ОР}$ , $\text{РО}$ , $\text{РР}$ . Но три значения числа орлов $0$ , $1$ , $2$ имеют вероятности $1/4$ , $1/2$ , $1/4$ . Делить на три при подсчёте вероятности одного орла было бы ошибкой.

Как решать задачу

Зафиксируйте опыт и событие.
Выберите конечные исходы и обоснуйте их равновозможность.
Посчитайте все исходы и подходящие по одному и тому же правилу.
Разделите и проверьте, что ответ лежит от $0$ до $1$ .

Если исходов много, можно использовать сочетания или правило умножения. Но числитель и знаменатель должны описывать одинаковые объекты: нельзя считать пары без порядка в числителе и последовательности с порядком в знаменателе.

Три примера

Из $12$ одинаковых на ощупь жетонов $5$ синие. При равномерном выборе вероятность синего — $5/12$ .
Для двух независимых честных кубиков $6\cdot6=36$ равновозможных упорядоченных пар. Сумма $7$ получается шестью способами: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ . Вероятность $6/36=1/6$ .
Выбираем два разных номера из $1,2,3,4$ равномерно без учёта порядка. Всего шесть пар: $12,13,14,23,24,34$ . Два чётных номера есть только в паре $24$ , значит вероятность $1/6$ .

Лаборатория приближает теоретическую вероятность частотой в серии опытов. Расхождение после конечного числа повторов само по себе не опровергает модель.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{m}{n},\qquad n>0

Формула словами: m благоприятных исходов среди n равновозможных исходов конечной модели.

0\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1,\quad P(\varnothing)=0

Формула словами: Вероятность лежит между 0 и 1, включая границы.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик Лаборатория: Монета Вероятность события Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.