Вероятность и статистика · Статистика и данные

Медиана

Ищем середину упорядоченного набора и сравниваем её со средним арифметическим.

7 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Медиана описывает типичный центр данных устойчивее среднего при далёких выбросах. Она полезна для цен, доходов и времён ожидания, где одно чрезвычайно большое значение способно резко сдвинуть арифметическое среднее.

Главная идея. Медиана — середина упорядоченного набора: при нечётном n берут одно центральное значение, а при чётном школьное соглашение использует среднее двух центральных наблюдений.

План рассуждения и проверка понимания

Выпишите все наблюдения по возрастанию, сохранив каждый повтор столько раз, сколько он встретился в исходных данных.
Посчитайте n: для n = 2m + 1 возьмите позицию m + 1, для n = 2m усредните позиции m и m + 1.
Сверьте ответ с диапазоном данных и отдельно отметьте, что при чётном количестве медиана может отсутствовать среди наблюдений.

Частая ошибка. Брать элемент, стоящий посередине исходной неотсортированной записи, или удалять повторяющиеся значения и находить середину только списка разных чисел.

Как проверить себя. Индекс x(i) относится к позиции после сортировки полного набора; повторы являются отдельными наблюдениями и способны изменить обе центральные позиции.

Схема к теме

Наглядная модель: Медиана

Ищем середину упорядоченного набора и сравниваем её со средним арифметическим.

A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
B: 7 наблюдения — наибольшее значение
C: 5 наблюдения — между крайними

Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему у наборов 2, 3, 4, 5, 6 и 2, 3, 4, 5, 60 одинаковая медиана, но сильно разные средние, и что это говорит об устойчивости показателей.

В хорошем объяснении есть:

Оба набора отсортированы, а центральная третья позиция названа явно.
Показано, что крайнее значение влияет на сумму, но не меняет центральный порядок.

Середина после сортировки

Чтобы найти медиану числового набора, сначала расположите все наблюдения по возрастанию, сохраняя повторы. При нечётном числе наблюдений медиана — центральное значение. При чётном в школьной статистике обычно берут среднее арифметическое двух центральных значений. Именно это соглашение использует наш калькулятор.

Например, запись $9,2,5$ сначала превращается в $2,5,9$ . Медиана равна $5$ . Взять центральный элемент первоначального списка и получить $2$ было бы ошибкой: порядок ввода не имеет значения.

Как читать индексы

Скобки в $x_{(i)}$ означают $i$ -е по порядку значение после сортировки, а не исходный номер наблюдения. Для пяти значений центральная позиция третья. Для шести — третья и четвёртая, поэтому их нужно сложить и разделить на два.

У пустого набора медиана не определена. У набора из одного числа она равна этому числу. Для чётного набора медиана может не встречаться в данных: у $1,3,8,10$ она равна $(3+8)/2=5{,}5$ .

Медиана и необычные значения

Медиана зависит прежде всего от порядка, поэтому далёкое крайнее значение часто влияет на неё меньше, чем на среднее. В наборах $2,3,4,5,6$ и $2,3,4,5,60$ медиана одинакова — $4$ . Среднее меняется с $4$ до $14{,}8$ .

Это не означает, что медиана не меняется никогда. Если добавить новые наблюдения, изменятся количество и центральные позиции. Также медиана не рассказывает о разбросе: у $1,5,9$ и $4,5,6$ она одинакова, хотя наборы устроены по-разному.

При повторах фраза «ровно половина значений меньше медианы» может быть неверна. Надёжная формулировка: не менее половины наблюдений не больше медианы и не менее половины не меньше её.

Три примера

Данные: $7,1,4,4,9$ . После сортировки $1,4,4,7,9$ ; третье значение и медиана равны $4$ .
Данные: $10,2,6,4$ . Упорядочиваем: $2,4,6,10$ . Медиана $(4+6)/2=5$ ; среднее $(2+4+6+10)/4=5{,}5$ .
Значение $2$ встречается трижды, $5$ — дважды, $9$ — один раз. Полный набор $2,2,2,5,5,9$ содержит шесть наблюдений. Медиана $(2+5)/2=3{,}5$ , а не медиана трёх разных значений $2,5,9$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\operatorname{med}=x_{(m+1)},\qquad n=2m+1

Формула словами: Для нечётного количества берём центральное значение отсортированного набора.

\operatorname{med}=\frac{x_{(m)}+x_{(m+1)}}2,\qquad n=2m

Формула словами: Для чётного количества используем школьное соглашение — среднее двух центральных значений.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.