Вероятность и статистика · Статистика и данные

Минимум, максимум и размах

Описываем крайние значения и ширину разброса, не теряя единицы и ограничения показателя.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Размах даёт быстрый ответ о полной ширине наблюдений и помогает проверять единицы и масштаб. Одновременно он показывает ограничение крайних показателей: внутреннее устройство данных в нём теряется.

Главная идея. Минимум и максимум задают наблюдавшиеся края набора, а размах R = xmax − xmin измеряет расстояние между ними. Он всегда неотрицателен и сохраняется при одинаковом сдвиге всех значений.

План рассуждения и проверка понимания

Найдите именно числовые минимум и максимум всего набора, внимательно сравнивая отрицательные значения и сохраняя исходные единицы.
Вычтите минимум из максимума со скобками, особенно если xmin отрицателен, и при необходимости переведите полученную разность в другие единицы.
Проверьте R ≥ 0 и оцените влияние каждого крайнего наблюдения; для описания внутреннего разброса добавьте другой показатель.

Частая ошибка. Для температур −7 и 5 вычислять 5 − 7 или складывать модули без ясного правила, а также считать размах полноценным описанием распределения значений внутри диапазона.

Как проверить себя. Используйте 5 − (−7) = 12 с явными скобками; затем помните, что наборы с одинаковыми краями могут иметь совершенно разную концентрацию внутри.

Схема к теме

Наглядная модель: Минимум, максимум и размах

Описываем крайние значения и ширину разброса, не теряя единицы и ограничения показателя.

Диапазон от -3 до 5
0: точка отсчёта
3: наблюдаемое значение
Промежуток от 0 (граница включена) до 3 (граница включена) — расстояние между значениями

Числовая прямая позволяет одновременно видеть порядок значений и расстояние между ними. Вывод: Сначала отметьте границы и точки, затем переводите рисунок в неравенство или вычисление.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните наборы 0, 0, 0, 10 и 0, 5, 5, 10: объясните одинаковый размах и назовите информацию о распределении, которую этот показатель не сохраняет.

В хорошем объяснении есть:

Для обоих наборов указаны минимум 0, максимум 10 и размах 10.
Отмечена различная концентрация внутренних значений и чувствительность к одному выбросу.

Два края набора

Минимум — наименьшее наблюдавшееся значение, максимум — наибольшее. Размах показывает расстояние между ними: из максимума вычитают минимум. Для набора $4,7,5,12$ минимум $4$ , максимум $12$ , размах $12-4=8$ .

Повторяющиеся значения не меняют края, но остаются частью данных. Размах имеет те же единицы, что и наблюдения. Если записаны времена в минутах, размах тоже измеряется в минутах. Это не число наблюдений и не отношение максимума к минимуму.

Отрицательные значения и границы

Для температур $-5$ , $-2$ , $4$ градуса минимум $-5$ , максимум $4$ . Размах $4-(-5)=9$ градусов. Если забыть скобки или взять абсолютные величины краёв отдельно, получится неверный результат.

В непустом наборе размах всегда неотрицателен. Он равен нулю тогда и только тогда, когда все значения одинаковы; это включает набор из одного числа. Для пустого набора минимум, максимум и размах не определены.

Что размах не описывает

Наборы $0,0,0,10$ и $0,5,5,10$ имеют один размах $10$ , но значения внутри диапазона распределены по-разному. Размах чувствителен к единственному далёкому наблюдению: замена максимума $10$ на $100$ меняет его сразу на $90$ .

Большой размах — повод посмотреть на данные и условия измерения. Он сам по себе не доказывает ошибку: необычное наблюдение может быть настоящим. Для более полного описания сопоставляйте размах со средним, медианой и исходным списком.

При прибавлении одного числа ко всем наблюдениям размах не меняется: оба края сдвигаются одинаково. При смене единиц он масштабируется. Перевод секунд в минуты делит размах на $60$ .

Три примера

За четыре дня измерили $18$ , $21$ , $19$ , $24$ градуса. Минимум $18$ , максимум $24$ , размах $6$ градусов.
Набор температур $-7,-3,2,5$ имеет размах $5-(-7)=12$ . После добавления $10$ к каждому значению края станут $3$ и $15$ , размах останется $12$ .
Три времени ожидания равны $90$ , $120$ , $210$ секундам. Размах $120$ секунд, то есть $2$ минуты. Это тот же разброс в других единицах, а не другой результат наблюдений.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

R=x_{\max}-x_{\min},\qquad R\ge0

Формула словами: Размах непустого набора — разность наибольшего и наименьшего значений.

R(cx_1,\ldots,cx_n)=|c|R(x_1,\ldots,x_n)

Формула словами: При умножении всех значений на c размах умножается на модуль c.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.