Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Сочетания без повторений

Считаем выбор подмножества, когда порядок объектов не создаёт нового результата.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Сочетания считают комиссии, пары и выбор шаров без учёта порядка. В вероятности они позволяют одинаково описывать общее число подмножеств и благоприятные подмножества.

Главная идея. Сочетание без повторений — это выбор k различных объектов из n, где важен только состав. Каждый такой состав имеет k! упорядочиваний, поэтому число размещений делят на k!.

План рассуждения и проверка понимания

Спросите, изменится ли результат после перестановки выбранных объектов; если нет, используйте сочетания, а не размещения.
Проверьте, что объекты различимы, повторный выбор запрещён и выполняется 0 ≤ k ≤ n.
Вычислите C(n, k) = n!/[k!(n − k)!], по возможности используя симметрию k ↔ n − k.
В вероятностной задаче считайте числитель и знаменатель подмножествами одного размера и по одному правилу.

Частая ошибка. Считать красные шары одинаковым объектом и потерять варианты выбора разных физических шаров одного цвета при равномерном выборе пары.

Как проверить себя. Сами шары различимы как элементы выборки: цвет определяет благоприятное условие, поэтому используйте C(3, 2) красных пар из C(7, 2) всех пар.

Схема к теме

Наглядная модель: Сочетания без повторений

Считаем выбор подмножества, когда порядок объектов не создаёт нового результата.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему пару из шести человек выбирают 15 способами, хотя упорядоченных записей двух разных людей существует 30.

В хорошем объяснении есть:

Упорядоченный подсчёт даёт 6 · 5 = 30 записей, потому что первый и второй человек временно различены.
Каждая обычная пара встречается дважды в противоположных порядках, поэтому 30/2! = 15.

Состав важен, порядок нет

Сочетание без повторений — выбор $k$ различных элементов из $n$ без учёта порядка. Комиссия из Анны и Бориса совпадает с комиссией из Бориса и Анны. Если назначаются разные роли, это уже размещение.

Каждое выбранное подмножество можно упорядочить $k!$ способами. Поэтому число размещений $A_n^k$ делят на $k!$ и получают $\binom nk$ . Это деление обосновано одинаковым количеством порядков для каждого состава.

Границы и симметрия

Пустой выбор существует одним способом, так что $\binom n0=1$ . Выбрать весь набор тоже можно единственным способом: $\binom nn=1$ . При $k>n$ подходящих подмножеств нет. В формулах часто продолжают обозначение нулём для таких целых $k$ , но факториальная дробь там уже не применяется.

Симметрия $\binom nk=\binom n{n-k}$ следует из дополнения: каждому выбранному набору соответствует единственный набор оставшихся элементов.

Применение в вероятности

При равномерном выборе подмножества знаменатель вероятности равен общему числу сочетаний. Числитель должен считать подмножества того же размера по тому же правилу, а не последовательности. При нескольких цветах число нужных составов часто получают произведением сочетаний отдельно по цветам.

Не считайте одинаковыми разные физические объекты только потому, что у них один цвет. В урне отдельные шары — разные элементы равномерного выбора; цвет определяет благоприятность, а не устраняет объект из подсчёта.

Три примера

Пару из шести человек выбирают $\binom62=15$ способами.
Комиссий из трёх участников среди десяти $\binom{10}3=120$ .
Из семи шаров три красных. При равномерном выборе пары без возвращения вероятность двух красных $\binom32/\binom72=3/21=1/7$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad0\le k\le n

Формула словами: Число k-элементных подмножеств n различных элементов.

\binom nk=\binom n{n-k}

Формула словами: Выбор включённых элементов равносилен выбору исключённых.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.