Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Размещения без повторений

Выбираем k разных объектов из n и учитываем порядок выбранных.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Формула нужна для призовых мест, последовательного выбора карточек без возвращения и назначений на разные должности. Она отделяет такие задачи от комиссий, где перестановка выбранных людей ничего не меняет.

Главная идея. Размещение без повторений выбирает k разных объектов из n и одновременно назначает им порядок или роли. После каждого выбора доступных объектов становится на один меньше, поэтому возникает убывающее произведение.

План рассуждения и проверка понимания

Определите, создаёт ли смена порядка новый результат: капитан и помощник различаются, а два равноправных участника комиссии — нет.
Проверьте отсутствие повторов и условие 0 ≤ k ≤ n; при выборе без возвращения ранее взятый объект исключается.
Перемножьте k последовательных множителей n(n − 1)…(n − k + 1) или сократите отношение n!/(n − k)!.
До применения общей формулы учтите ограничения отдельных позиций, например запрет нуля в начале записи натурального числа.

Частая ошибка. Механически подставить A₄² = 12 при составлении двузначного числа из 0, 1, 2, 3 и включить записи с ведущим нулём.

Как проверить себя. Разделите позиции по ограничениям: первую цифру выбирают тремя способами из 1, 2, 3, вторую — тремя оставшимися, поэтому допустимых чисел 9.

Схема к теме

Наглядная модель: Размещения без повторений

Выбираем k разных объектов из n и учитываем порядок выбранных.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему выбор капитана и помощника из пяти человек даёт 20 назначений, а выбор обычной пары из тех же людей потребовал бы другой формулы.

В хорошем объяснении есть:

Для первой роли указано пять кандидатов, для второй — четыре оставшихся, поэтому работает произведение 5 · 4.
Пояснено, что перестановка ролей меняет назначение, тогда как в равноправной паре два порядка совпадают.

Часть набора в определённом порядке

Размещение без повторений — упорядоченный выбор $k$ различных элементов из $n$ . В отличие от перестановки всех объектов, здесь часть может остаться невыбранной. В отличие от сочетания, порядок важен.

Если из восьми участников выбирают первое, второе и третье места без ничьих, роли мест различаются. На первую позицию есть восемь кандидатов, на вторую семь, на третью шесть. Произведение и является числом размещений.

Формула и границы

На очередном шаге один ранее выбранный элемент исключается. Всего множителей $k$ , последний равен $n-k+1$ . Факториальная запись возникает сокращением первых $(n-k)!$ множителей.

При $k=0$ есть одна пустая последовательность. При $k=n$ размещение становится перестановкой и равно $n!$ . Если нужно выбрать больше различных элементов, чем существует, вариантов нет; факториальную формулу с отрицательным аргументом применять нельзя.

Как узнать, нужен ли порядок

Спросите, отличаются ли результаты после перестановки выбранных объектов. Два человека на роли капитана и помощника — разные назначения. Два человека в обычную комиссию — та же комиссия, поэтому размещение посчитает каждый состав несколько раз.

Ограничения на отдельные позиции могут нарушить прямую формулу. При составлении чисел ведущий ноль запрещён, а в пароле иногда разрешён: это разные условия, которые учитываются до произведения.

Три примера

Из пяти человек выбирают капитана и помощника: $A_5^2=5\cdot4=20$ .
Из десяти различных карточек берут три последовательно без возвращения: $10\cdot9\cdot8=720$ исходов с порядком.
Из цифр $0,1,2,3$ составляют двузначное число без повторов. Первая позиция имеет три варианта, вторая — три оставшихся, всего $9$ . Формула $A_4^2=12$ включила бы запрещённые ведущие нули.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!},\qquad0\le k\le n

Формула словами: n и k — целые; выбирается упорядоченная последовательность k различных элементов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.