Мода и несколько мод
Наиболее частое значение данных, ничьи и отличие от среднего и медианы.
Чему научимся
Мода позволяет находить самый распространённый размер, цвет или ответ даже для категориальных данных, где среднее невозможно. Она также показывает вершину дискретного распределения или модальный интервал сгруппированных данных.
Главная идея. Мода — значение или категория с наибольшей наблюдаемой частотой. Мод может быть несколько, а при отсутствии повторов все значения имеют одинаковую частоту и единственного лидера нет.
План рассуждения и проверка понимания
- Составьте таблицу частот всех значений, сохранив категории и одинаковое правило округления либо группировки для каждого наблюдения.
- Найдите максимальную частоту и перечислите все значения, которые её достигают, вместо произвольного выбора одного победителя.
- Уточните, относится результат к исходным точным данным, округлённым значениям, интервалам или вероятностному закону.
Частая ошибка. Считать моду обязательной единственной серединой набора или выбирать только одно значение при ничьей, игнорируя вторую категорию с той же максимальной частотой.
Как проверить себя. Мода определяется максимумом частоты, а не положением после сортировки; множество мод содержит каждого лидера, и иногда набор корректно называют мультимодальным.
Наглядная модель: Мода и несколько мод
Наиболее частое значение данных, ничьи и отличие от среднего и медианы.
- A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
- B: 7 наблюдения — наибольшее значение
- C: 5 наблюдения — между крайними
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Объясните, почему у данных 1, 1, 4, 4, 7 две моды, медиана равна 4, а среднее отвечает на третий вопрос, и укажите, какой показатель применим к названиям цветов.
В хорошем объяснении есть:
- Частоты 1 и 4 сравнены и оба значения сохранены как моды.
- Отмечено, что категориальные названия допускают моду, но не арифметическое среднее.
Самое частое значение
Мода числового или категориального набора — значение, встречающееся чаще остальных. Её находят по таблице частот. В отличие от среднего, мода применима к названиям категорий: наиболее частый цвет или вид транспорта имеет смысл, хотя складывать такие названия нельзя.
Если максимум частоты разделяют несколько значений, мод может быть несколько. Если все значения встречаются одинаково часто, возможны разные соглашения: назвать все модами или сказать, что выраженной моды нет. В этой статье математически перечисляются все значения максимальной частоты, а при полном равенстве подчёркивается отсутствие выделенного лидера.
Данные и распределение
В конечном дискретном законе мода — значение с наибольшей вероятностью, а в выборке — с наибольшей наблюдаемой частотой. Они не обязаны совпадать. Для непрерывной модели говорят о максимумах плотности; повторяющихся точных измерений при этом может вообще не быть. Группировка в интервалы создаёт модальный интервал, а не точное исходное значение.
Три примера
- В данных 2, 2, 3, 5 мода равна 2: она встретилась дважды, остальные — по разу.
- В данных 1, 1, 4, 4, 7 две моды: 1 и 4. Выбор только одной из них теряет информацию.
- В ответах «пешком, автобус, пешком, велосипед» мода — «пешком». Среднее арифметическое для этих категорий не определено.
Ошибки
Мода не обязана стоять в середине отсортированного ряда и не обязательно близка к среднему. В малой выборке одна дополнительная запись может сменить лидера. У округлённых измерений частоты зависят от точности записи: округление до целых и до десятых может давать разные моды. При сообщении результата укажите, считалась ли мода точных значений, округлённых данных или интервалов.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Все значения с максимальной частотой nₓ; правило для случая одинаковых частот следует оговорить.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.