Вероятность и статистика · Статистика и данные

Ящик с усами

Квартили, межквартильный размах и почему точка за усами ещё не является ошибкой.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Такой график быстро сравнивает центр и устойчивый разброс групп и отмечает необычно далёкие значения. Он не заменяет исходные данные и сам по себе не доказывает, что отмеченная точка ошибочна.

Главная идея. Ящик с усами показывает первый квартиль, медиану, третий квартиль и крайние наблюдения по выбранному правилу. В варианте Тьюки точки дальше 1,5 межквартильного размаха рисуют отдельно.

План рассуждения и проверка понимания

Упорядочьте данные и вычислите Q₁, медиану и Q₃ одним заранее указанным методом квартилей, например R7.
Найдите IQR = Q₃ − Q₁ и пороги Тьюки L = Q₁ − 1,5IQR и U = Q₃ + 1,5IQR.
Проведите усы до крайних наблюдаемых значений внутри порогов, а точки за порогами покажите отдельно.
При сравнении нескольких ящиков используйте одну шкалу, укажите размеры выборок и не делайте вывод о форме распределения только по пяти числам.

Частая ошибка. Провести усы прямо до числовых порогов Q₁ − 1,5IQR и Q₃ + 1,5IQR, даже если в данных нет наблюдений с такими значениями.

Как проверить себя. Пороги лишь отделяют дальние точки; конец уса ставят на крайнем фактическом наблюдении, которое осталось внутри соответствующего порога.

Схема к теме

Наглядная модель: Ящик с усами

Квартили, межквартильный размах и почему точка за усами ещё не является ошибкой.

Ящик с усами → ящик с усами
Ящик с усами → межквартильный размах
Ящик с усами → выброс

Схема связывает понятие «Ящик с усами» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

По методу квартилей R7 разберите данные 1, 2, 3, 4, 20: объясните, почему верхний ус заканчивается на 4, а 20 показывается отдельной точкой, но не удаляется автоматически.

В хорошем объяснении есть:

Получены Q₁ = 2, Q₃ = 4, IQR = 2 и верхний порог 7.
Отмечено, что 20 лежит за порогом и требует содержательной проверки, а не безусловного удаления.

Пять чисел и точки за границами

Ящик с усами компактно показывает положение и разброс данных. Нижняя и верхняя стороны ящика соответствуют $Q_1$ и $Q_3$ , линия внутри — медиане. Ширина ящика по шкале данных равна межквартильному размаху $IQR$ . Это разброс центральной части, менее чувствительный к отдельным далёким наблюдениям, чем полный размах.

Существуют разные варианты усов. В простом варианте они идут до минимума и максимума. В используемом здесь варианте Тьюки усы заканчиваются на крайних наблюдениях внутри порогов $Q_1-1.5IQR$ и $Q_3+1.5IQR$ . Наблюдения за порогами рисуют отдельно.

Явные соглашения

Квартили вычисляем методом R7, описанным в соседней статье. Другие методы квартилей иногда меняют положение усов и классификацию граничных точек. Термин «выброс» на таком графике означает сигнал для проверки, а не приказ удалить наблюдение.

Три примера

Для данных 0, 2, 4, 6, 8 получаем $Q_1=2$ , медиану 4 и $Q_3=6$ . $IQR=4$ , пороги $-4$ и 12, поэтому усы идут до 0 и 8.
Для 1, 2, 3, 4, 20 квартили равны 2 и 4. $IQR=2$ , пороги $-1$ и 7. Верхний ус заканчивается на 4, а 20 рисуется отдельной точкой.
Если все наблюдения равны 5, оба квартиля и медиана равны 5, $IQR=0$ . Ящик схлопывается в линию; это честное отражение отсутствия разброса.

Что не видно

Один ящик не показывает всю форму распределения: две выборки с разным числом пиков могут иметь одинаковые квартили. Сравнение групп требует общей шкалы и подписанных размеров выборки. Точка за усом может быть настоящим редким наблюдением, следствием другой группы или ошибкой ввода — решение требует контекста.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

IQR=Q_3-Q_1

Формула словами: Межквартильный размах: ширина центрального квартильного ящика.

L=Q_1-1.5IQR,\qquad U=Q_3+1.5IQR

Формула словами: Пороги варианта Тьюки; усы идут до крайних наблюдений внутри порогов, а не обязательно до самих порогов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.