Вероятность и статистика · Статистика и данные

Квантили, квартили и процентили

Порог по доле данных и явное правило интерполяции для небольшой выборки.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Квантили делят распределение по долям и описывают положение без чувствительности к отдельным крайним значениям. Квартили нужны для ящиков с усами, а процентили — для сопоставления результата с общей группой.

Главная идея. Квантиль уровня p — порог, у которого накопленная доля достигает p. Для выборки статья использует интерполяцию R7 с позицией h = 1 + (n−1)p, поэтому результат не всегда совпадает с наблюдением.

План рассуждения и проверка понимания

Отсортируйте все n наблюдений, выберите уровень p от 0 до 1 и вычислите дробную позицию h = 1 + (n−1)p.
Если h целое, возьмите соответствующий элемент; иначе смешайте два соседних значения в пропорции дробной части позиции.
Подпишите использованный метод R7 и проверьте границы: при p = 0 получается минимум, при p = 1 — максимум.

Частая ошибка. Считать девяностый процентиль числом, равным 90% максимума, или сравнивать результаты разных программ без указания принятого способа интерполяции.

Как проверить себя. Процентиль задаётся накопленной долей упорядоченных данных; его численное значение зависит от распределения и для малой выборки — от явно выбранного соглашения о позиции.

Схема к теме

Наглядная модель: Квантили, квартили и процентили

Порог по доле данных и явное правило интерполяции для небольшой выборки.

Диапазон от -3 до 5
0: точка отсчёта
3: наблюдаемое значение
Промежуток от 0 (граница включена) до 3 (граница включена) — расстояние между значениями

Числовая прямая позволяет одновременно видеть порядок значений и расстояние между ними. Вывод: Сначала отметьте границы и точки, затем переводите рисунок в неравенство или вычисление.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для данных 2, 4, 6, 8 объясните вычисление первого квартиля по R7: найдите позицию 1,75, смысл дробной части и причину результата 3,5 между наблюдениями.

В хорошем объяснении есть:

Данные отсортированы и использована позиция 1 + 3·0,25 = 1,75.
Интерполяция между 2 и 4 отделена от выбора наблюдавшегося элемента.

Порог накопленной доли

Квантиль уровня $p$ распределения — порог, к которому накопленная вероятность достигает $p$ . Для однозначности здесь используем нижний квантиль $\inf\{x:F(x)\ge p\}$ . Медиана соответствует уровню 0.5; квартили $Q_1,Q_2,Q_3$ — уровням 0.25, 0.5 и 0.75. Девяностый процентиль — квантиль уровня 0.9.

Для конечной выборки есть несколько распространённых способов оценивания квантилей. Они могут давать разные числа, особенно при малом количестве наблюдений. Это различие соглашений, а не обязательно ошибка вычисления.

Правило нашего калькулятора

Сортируем данные $x_{(1)}\le\cdots\le x_{(n)}$ . Используем линейную интерполяцию R7: позиция $h=1+(n-1)p$ . Если позиция целая, берём соответствующий элемент; иначе смешиваем соседние пропорционально дробной части. При $p=0$ и $p=1$ получаем минимум и максимум. Именно это правило используется в задачах статьи.

Три примера

Для 0, 10, 20, 30, 40 первый квартиль имеет позицию $1+4\cdot0.25=2$ и равен 10; третий — позиции 4 и равен 30.
Для 2, 4, 6, 8 позиция первого квартиля $1+3\cdot0.25=1.75$ . Интерполируем: $2+0.75(4-2)=3.5$ .
Для 0, 10, 20 квантиль уровня 0.9 имеет позицию 2.8. Получаем $10+0.8(20-10)=18$ ; он не обязан быть наблюдавшимся значением.

Интерпретация и ошибки

Не путайте 90-й процентиль со значением «90% от максимума». При совпадающих данных или дискретном законе ровно указанная доля ниже порога может не получиться из-за скачка. Указывайте метод, когда сравниваете результаты разных программ. Школьная работа с квартилями относится к углублённому материалу; интерполяция R7 — явно выбранное вычислительное соглашение.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

q_p=\inf\{x:F(x)\ge p\}

Формула словами: Нижний квантиль распределения при 0 < p < 1.

h=1+(n-1)p,\qquad Q_p=x_{(j)}+d(x_{(j+1)}-x_{(j)})

Формула словами: Выборочное правило R7: j=floor(h), d=h−j; при h=n берут максимум.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.