Вероятность и статистика · Случайные величины

Функция распределения

Как накопленная вероятность описывает дискретные и непрерывные величины и определяет интервальные вероятности.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Одна функция одинаково описывает дискретные, непрерывные и смешанные величины. По разности её значений можно находить интервальные вероятности, если внимательно учитывать открытые и закрытые границы.

Главная идея. Функция распределения F(x) накапливает вероятность всех значений случайной величины, не превосходящих x. Для дискретного закона она растёт скачками, а размер скачка равен вероятности соответствующей точки.

План рассуждения и проверка понимания

Уточните соглашение F(x) = P(X ≤ x) и для каждого x соберите всю вероятность слева вместе с массой в самой точке.
Проверьте четыре свойства: значения от нуля до единицы, неубывание, правильные пределы на бесконечностях и непрерывность справа.
Для события a < X ≤ b вычислите F(b) − F(a); при другой левой границе отдельно учтите вероятность точки a.
В дискретной модели читайте P(X = a) как скачок F(a) − F(a−), а не как высоту самой функции.

Частая ошибка. Принять F(2) − F(0) за вероятность 0 ≤ X ≤ 2, хотя по выбранному соглашению эта разность соответствует интервалу 0 < X ≤ 2.

Как проверить себя. Сначала подпишите скобки: F(b) − F(a) исключает массу в a; чтобы включить левую точку, добавьте P(X = a) или используйте левый предел F(a−).

Схема к теме

Наглядная модель: Функция распределения

Диапазон от -3 до 5
0: точка отсчёта
3: наблюдаемое значение
Промежуток от 0 (граница включена) до 3 (граница включена) — расстояние между значениями

Числовая прямая позволяет одновременно видеть порядок значений и расстояние между ними. Вывод: Сначала отметьте границы и точки, затем переводите рисунок в неравенство или вычисление.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для величины со значениями 0 и 2 и вероятностями 0,3 и 0,7 опишите F(x), найдите её скачки и сравните P(0 < X ≤ 2) с P(0 ≤ X ≤ 2).

В хорошем объяснении есть:

Функция равна 0 левее нуля, 0,3 на промежутке от 0 до 2 и 1 начиная с 2.
Разность F(2) − F(0) равна 0,7, а включение точки 0 добавляет её массу 0,3 и даёт 1.

Накопленная вероятность

Функция распределения $F(x)$ — вероятность того, что величина не превосходит заданную границу $x$ . Здесь используется соглашение $F(x)=P(X\le x)$ . Встречается и соглашение со строгим неравенством; в дискретной точке они различаются, поэтому определение нужно проверять.

Функция не убывает, принимает значения от 0 до 1, стремится к 0 при $x\to-\infty$ и к 1 при $x\to+\infty$ . Она непрерывна справа. Скачок в точке $a$ равен вероятности $P(X=a)$ : из накопленной массы справа вычитают левый предел.

Вероятности интервалов

Разность $F(b)-F(a)$ соответствует интервалу $(a,b]$ , а не автоматически $[a,b]$ . Для включения левой границы надо добавить $P(X=a)$ или использовать левый предел $F(a-)$ . При распределении с плотностью вероятности точек нулевые, и виды скобок результата не меняют.

Три примера

$X$ принимает 0 и 2 с вероятностями 0.3 и 0.7. Тогда $F(x)=0$ при $x<0$ , $F(x)=0.3$ при $0\le x<2$ и $F(x)=1$ при $x\ge2$ .
Для этого закона $F(2)-F(0)=1-0.3=0.7$ . Это $P(0<X\le2)$ ; вероятность $P(0\le X\le2)$ равна 1.
При равномерном выборе на $[0,4]$ внутри отрезка $F(x)=x/4$ . Поэтому $P(1<X\le3)=3/4-1/4=1/2$ .

Ошибки чтения

Высота $F(x)$ не является вероятностью точки $x$ . Для точки нужен размер скачка, а при непрерывной функции он ноль. Возрастающий график сам по себе недостаточен: нужны правильные предельные значения и правосторонняя непрерывность. Функция распределения удобна тем, что одинаково работает с дискретной, непрерывной и смешанной моделью.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

F(x)=P(X\le x)

Формула словами: Используем соглашение с нестрогим неравенством: F непрерывна справа.

P(a<X\le b)=F(b)-F(a)

Формула словами: Верно для любого одномерного распределения при a < b.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.