Умблик
Справочник вероятности
Математическая основа
Вероятность и статистика · Математическая основа

Функция и знак суммы

Разбираем индексы, пределы суммирования и подстановку в функцию.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Эти обозначения нужны для формул среднего, ожидания и дисперсии. Понимание области определения, числа слагаемых и зависимости выражения от индекса предотвращает ошибки ещё до вычислений.

Главная идея. Функция назначает каждому допустимому входу ровно один выход, а знак суммы Σ сокращает запись повторяющегося сложения. Индекс последовательно принимает целые значения от нижней до верхней границы.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Для функции назовите область определения, подставьте аргумент во всё выражение и проверьте, допустим ли выбранный вход.
  2. Для суммы выпишите несколько первых и последний член, чтобы увидеть, что именно меняется вместе с индексом.
  3. Посчитайте число целых индексов как s − r + 1, включая обе границы, и только затем выполняйте сложение.
  4. Выносите постоянный множитель, а постоянное слагаемое учитывайте столько раз, сколько значений принимает индекс.

Частая ошибка. Считать, что в сумме от k = 0 до 3 три слагаемых, используя разность границ и забывая, что ноль и тройка тоже входят.

Как проверить себя. Перечислите индексы 0, 1, 2, 3 или примените формулу 3 − 0 + 1 = 4; поэтому сумма четырёх единиц равна четырём.

Схема к теме

Наглядная модель: Функция и знак суммы

Разбираем индексы, пределы суммирования и подстановку в функцию.

Наглядная модель: Функция и знак суммыРазбираем индексы, пределы суммирования и подстановку в функцию.функциясуммасигмаиндексΣФункция и знаксуммы
  • Функция и знак суммы → функция
  • Функция и знак суммы → сумма
  • Функция и знак суммы → сигма
  • Функция и знак суммы → индекс
  • Функция и знак суммы → Σ
Схема связывает понятие «Функция и знак суммы» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для чисел 2, 5, 8 и среднего 5 раскройте сумму отклонений Σ(xᵢ − 5) и объясните, почему нулевой итог не означает нулевые отдельные отклонения.

В хорошем объяснении есть:

  • Сумма раскрыта как −3 + 0 + 3 = 0 с тремя значениями индекса.
  • Противоположные отклонения взаимно уничтожились; первое и третье наблюдения всё равно отличаются от среднего.

Правило, вход и выход

Функция сопоставляет каждому допустимому входу ровно один выход. В записи y=f(x)y=f(x) буква xx обозначает аргумент, а f(x)f(x) — значение. Например, правило f(x)=x2f(x)=x^2 даёт f(3)=9f(3)=9 и f(−3)=9f(-3)=9: разные входы могут иметь одинаковый выход.

Область определения указывает, какие входы допустимы. У f(x)=1/xf(x)=1/x исключён ноль. У вероятностной функции числа успехов вход kk обычно целый; подстановка k=2,5k=2{,}5 не обязана иметь смысл в модели.

Сумма — короткая запись повторений

Большая греческая буква Σ\Sigma обозначает суммирование. Нижняя подпись задаёт начальный индекс, верхняя — конечный. Запись ∑i=14i2\sum_{i=1}^4 i^2 означает 12+22+32+421^2+2^2+3^2+4^2. Индекс является местным обозначением: переименование ii в jj не меняет сумму.

Число слагаемых в ∑i=rsai\sum_{i=r}^s a_i при целых r≤sr\le s равно s−r+1s-r+1, а не s−rs-r. Для пустого набора индексов принято считать сумму нулём. Эта договорённость делает формулы на границах единообразными.

Условия преобразований

Для конечной суммы можно переставлять и группировать слагаемые, выносить общий множитель. Если суммируется константа cc, результат равен ncnc. Для бесконечных рядов перестановки и предельные переходы требуют отдельных условий; правила этой статьи относятся прежде всего к конечным суммам.

Скобки определяют, что зависит от индекса. В ∑i=1n(xi−x‾)\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x) среднее x‾\overline x одно и то же для всех слагаемых, поэтому сумма отклонений равна нулю.

Три примера

  1. ∑i=132i=2+4+6=12\sum_{i=1}^3 2i=2+4+6=12.
  2. ∑k=031=4\sum_{k=0}^3 1=4: индекс принимает четыре значения, включая ноль.
  3. Для x1=2,x2=5,x3=8x_1=2,x_2=5,x_3=8 среднее равно 55, поэтому ∑i=13(xi−5)=−3+0+3=0\sum_{i=1}^3(x_i-5)=-3+0+3=0. Нулевой итог не означает, что каждое отклонение нулевое.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

∑i=1nai=a1+⋯+an\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+\cdots+a_n

Формула словами: Индекс i последовательно принимает целые значения от 1 до n.

∑i=1n(cai+b)=c∑i=1nai+nb\sum_{i=1}^{n}(ca_i+b)=c\sum_{i=1}^{n}a_i+nb

Формула словами: Постоянный множитель выносится, постоянное слагаемое повторяется n раз.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.