Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Бином Ньютона

Разложение степени суммы, смысл коэффициентов и выбор нужного слагаемого без полного раскрытия.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Формула позволяет находить всё разложение или только нужный коэффициент, работать с разностью и понимать, почему биномиальные вероятности в сумме дают единицу.

Главная идея. Бином Ньютона раскрывает (a + b)ⁿ: слагаемое с bᵏ появляется, когда b выбрано ровно из k скобок, а коэффициент C(n, k) считает способы выбрать эти скобки.

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте, что показатель n — неотрицательное целое и множители a и b можно переставлять при умножении.
Для номера k от 0 до n запишите общий член C(n, k)a^(n−k)bᵏ, сохраняя сумму показателей n.
Если требуется один коэффициент, решите, при каком k получается нужная степень переменной, не раскрывая остальные члены.
Для (a − b)ⁿ подставьте −b и проследите знак и степень каждого числового множителя.

Частая ошибка. Записать (a + b)ⁿ как aⁿ + bⁿ или забыть возвести коэффициент при переменной в степень, например потерять 2² при поиске x² в (1 + 2x)⁴.

Как проверить себя. Используйте общий член целиком: при k = 2 коэффициент равен C(4, 2) · 2² = 24; смешанные слагаемые возникают из разных выборов скобок.

Схема к теме

Наглядная модель: Бином Ньютона

Разложение степени суммы, смысл коэффициентов и выбор нужного слагаемого без полного раскрытия.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните комбинаторно появление коэффициента 3 перед x² в разложении (x + 1)³, связывая его с выбором двух множителей x.

В хорошем объяснении есть:

Названы три одинаковые скобки и три способа выбрать две из них для множителя x.
Показано, что оставшаяся скобка даёт единицу, поэтому член равен 3x².

От умножения к формуле

Бином Ньютона раскрывает $(a+b)^n$ при неотрицательном целом $n$ . В произведении из $n$ одинаковых скобок выбираем из каждой либо $a$ , либо $b$ . Чтобы получить $a^{n-k}b^k$ , нужно выбрать ровно $k$ скобок, из которых взято $b$ . Способов сделать это $\binom nk$ , поэтому такой коэффициент и появляется.

В каждом слагаемом сумма показателей степеней равна $n$ . Индекс $k$ пробегает значения от 0 до $n$ , так что слагаемых до объединения возможных числовых значений ровно $n+1$ . Для обычных чисел перестановка множителей допустима. Для матриц формула без дополнительных условий неверна: умножение может быть некоммутативным.

Разность и вероятность

Чтобы раскрыть $(a-b)^n$ , подставляют $-b$ вместо $b$ : знаки чередуются, но коэффициенты остаются теми же. Если $a=p$ , $b=1-p$ , сумма равна 1. Это объясняет нормировку биномиальных вероятностей при $0\le p\le1$ ; сама алгебраическая формула не требует этих вероятностных ограничений.

Три примера

$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ . Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка Паскаля с номером 3.
Коэффициент при $x^2$ в $(1+2x)^4$ равен $\binom42\cdot2^2=6\cdot4=24$ . Множитель 2 тоже возводится в степень.
$(1-p)^2=1-2p+p^2$ . При $p=0.3$ получается $1-0.6+0.09=0.49$ , что совпадает с $0.7^2$ .

Ошибки и границы

Нельзя заменять $(a+b)^n$ на $a^n+b^n$ : смешанные слагаемые обычно не исчезают. У выражения $(2x-3)^n$ следует учитывать и знак, и степени числовых множителей. Для нецелых показателей существует обобщённый бесконечный ряд с условиями сходимости, но конечная формула этой статьи к нему напрямую не относится.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k

Формула словами: Для неотрицательного целого n; a и b — числа или коммутирующие выражения.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.