Диаграммы Эйлера–Венна

Рисунок показывает отношения

В диаграмме событий прямоугольник изображает пространство исходов, а замкнутые области — множества. Для двух событий удобно выделять четыре части: только $A$, оба события, только $B$ и ни одного. Каждый исход попадает ровно в одну такую часть.

Диаграмма Венна показывает все возможные сочетания принадлежности, даже если некоторые области пусты. Диаграмма Эйлера обычно подчёркивает фактически имеющиеся отношения: вложенность или отсутствие пересечения. В учебных материалах названия нередко употребляются совместно; смысл областей нужно читать по подписям.

Числа в областях

Если в четырёх частях указаны количества, складывайте нужные непересекающиеся области. Для равномерного выбора из всего конечного набора итоговое количество делят на общий размер. Если подписаны вероятности, они сами должны быть неотрицательны и в сумме давать единицу.

Площади нарисованных кругов не обязательно пропорциональны количествам или шансам. В нашей схематичной модели точные значения читаются из числовых подписей и таблицы. Видимое перекрытие не используется как измеренная вероятность.

Проверяем согласованность

Имея $P(A)$, $P(B)$ и пересечение $c$, получаем четыре числа: $P(A)-c$, $c$, $P(B)-c$, $1-P(A)-P(B)+c$. Если хотя бы одно отрицательно, данные не описывают допустимую диаграмму.

В условной вероятности знаменателем становится выбранная область, например всё $B$, а не весь прямоугольник. Это смена условия вычисления, которую удобно видеть на рисунке.

Три примера

1. Четыре области содержат $3,2,4,1$ исход соответственно. Всего $10$, в $A$ — $5$, поэтому при равномерном выборе $P(A)=1/2$.
2. Для тех же данных объединение содержит $3+2+4=9$, вероятность ни одного события $1/10$.
3. Пересечение $2$ среди всех $6$ исходов $B$ даёт $P(A\mid B)=2/6=1/3$. Это отличается от общей вероятности пересечения $2/10$.