Разность событий

Что осталось в первом событии

Разность $A\setminus B$ означает «событие $A$ произошло, а $B$ — нет». Мы начинаем с исходов $A$ и убираем из них все исходы, входящие в $B$. Если $B$ содержит много исходов вне $A$, они не участвуют в удалении.

Операция несимметрична: $A\setminus B$ и $B\setminus A$ обычно разные. Для $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$ первая разность $\{1,2\}$, вторая $\{4\}$. Общая часть $\{3\}$ не входит ни в одну из разностей.

Вероятность разности

Событие $A$ распадается на две несовместимые части: $A\cap B$ и $A\setminus B$. Поэтому вероятность второй находится вычитанием пересечения из $P(A)$. Просто вычитать $P(B)$ можно только при включении $B\subseteq A$.

Запись через дополнение $A\cap\overline B$ помогает использовать правило умножения. Если $A$ и $B$ независимы, вероятность разности равна $P(A)(1-P(B))$. Без независимости нужно учитывать условную вероятность отсутствия $B$ при $A$.

Ровно одно из двух

Событие «ровно одно из $A$ и $B$» объединяет две разности. Они несовместимы, поэтому их вероятности складываются. В итоге получается $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$. Множитель два отражает исключение общей части из обоих списков.

Типичная ошибка — понимать «A или B» как разность. В математическом объединении общая часть сохраняется; при «только A» удаляется, а при «ровно одно» удаляется из обоих направлений.

Три примера

1. У кубика $A=\{2,4,6\}$, $B=\{4,5,6\}$. Только $A$ — исход $2$, с вероятностью $1/6$ для честного кубика.
2. $P(A)=0{,}7$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Вероятность только $A$ равна $0{,}5$.
3. При $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$, пересечении $0{,}1$ вероятность ровно одного равна $0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7$.