Формула полной вероятности

Один результат из разных случаев

Формула полной вероятности позволяет найти шанс события, если опыт начинается с одного из нескольких несовместимых случаев. Каждый случай имеет свой вес, а внутри него известна условная вероятность нужного события.

Пусть $H_i$ образуют полную группу. Событие $A$ разбивается на попарно несовместимые части $A\cap H_i$. Складывая их вероятности и применяя правило умножения к каждой, получаем сумму $P(H_i)P(A\mid H_i)$.

Веса имеют значение

Это взвешенное среднее условных вероятностей. Просто усреднять их арифметически можно только при равных вероятностях всех случаев. Если $90\%$ продукции приходит с одного станка, его показатели влияют на общий итог в девять раз сильнее показателей станка с долей $10\%$.

Независимость события $A$ от гипотез не требуется: различие условных вероятностей как раз отражает зависимость. Но случаи должны охватывать всю модель и не пересекаться. Если один объект можно одновременно отнести к двум случаям, прямое суммирование посчитает его дважды.

Проверка результата

Итог лежит между минимумом и максимумом условных вероятностей с положительными весами. Если результат оказался вне этого диапазона, проверьте нормировку весов и арифметику. Нулевому весу соответствует нулевой вклад; делить на вероятность такого условия не нужно.

Общая вероятность события не сообщает, из какого источника пришёл конкретный наблюдавшийся результат. Обратный вопрос решает формула Байеса.

Три примера

1. Урну выбирают равновероятно. В первой красных $1/4$, во второй $3/4$. Общая вероятность красного $(1/2)(1/4)+(1/2)(3/4)=1/2$.
2. Источники имеют веса $0{,}3$ и $0{,}7$, условные вероятности успеха $0{,}1$ и $0{,}2$. Общая вероятность $0{,}03+0{,}14=0{,}17$.
3. С вероятностью $0{,}8$ используется первый канал с успешностью $0{,}9$, иначе второй с успешностью $0{,}5$. Итог $0{,}8\cdot0{,}9+0{,}2\cdot0{,}5=0{,}82$, а не среднее $0{,}7$.