Дерево случайного эксперимента

Путь хранит историю

Дерево изображает последовательный опыт. Корень соответствует началу, ветвь — возможному следующему шагу, лист — завершённому результату. В отличие от списка конечных исходов, дерево явно хранит, какие условия уже выполнены к очередной вершине.

Подпись ветви — условная вероятность перехода при известной истории. Из каждой достижимой вершины должны выходить все взаимоисключающие продолжения, поэтому их вероятности в сумме равны единице. Одна и та же подпись результата на разных уровнях не означает одинакового шанса.

Правила чтения

Вдоль пути вероятности умножают. Между разными подходящими конечными путями — складывают, потому что в одном опыте реализуется один лист. Удобная проверка: сумма вероятностей всех листьев полного конечного дерева равна единице.

Нельзя складывать вероятность вершины с вероятностью её потомка как несовместимые случаи. Потомок уже входит в событие достижения этой вершины. Для ответа выделяйте листья либо непересекающийся набор завершённых путей.

Если вероятность ветви нулевая, все её потомки имеют нулевой вклад. Условные формулы с делением на вероятность недостижимой вершины применять не нужно.

Когда дерево особенно полезно

Извлечение без возвращения меняет состав урны на каждом пути. Дерево помогает не использовать старый знаменатель и не смешивать пути с разным числом оставшихся красных шаров. Для независимых испытаний соответствующие ветви имеют одинаковые вероятности независимо от предыстории.

Три примера

1. Первый успех имеет вероятность $0{,}3$, второй при первом успехе $0{,}5$. Путь «два успеха» имеет вероятность $0{,}15$.
2. Если при первой неудаче шанс второго успеха $0{,}2$, вероятность успеха на втором шаге равна $0{,}3\cdot0{,}5+0{,}7\cdot0{,}2=0{,}29$.
3. В урне два красных и один синий шар. Без возвращения листья КК, КС, СК имеют вероятности $1/3,1/3,1/3$, а СС невозможен. Сумма допустимых листьев равна $1$.