Вероятность и статистика · Повторные испытания

Выбор с возвращением и без

Как возвращение предмета меняет пространство исходов, зависимость и формулы вероятностей.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Различие моделей определяет знаменатели в урновых задачах, применимость биномиальной или гипергеометрической формулы и то, можно ли возводить одну вероятность в степень.

Главная идея. При выборе с возвращением состав совокупности восстанавливается и вероятности шагов могут оставаться независимыми. Без возвращения численности меняются, поэтому следующие вероятности условны.

План рассуждения и проверка понимания

Установите, возвращается ли выбранный предмет, перемешивается ли совокупность и важен ли порядок результатов выборки.
С возвращением используйте постоянный состав при независимом механизме; без возвращения обновляйте числитель и знаменатель после каждого шага.
Для неупорядоченной выборки без возвращения сопоставьте сочетания благоприятных наборов со всеми C(N,n) возможными наборами и проверьте допустимые k.

Частая ошибка. Возводить R/N в степень при выборе без возвращения или считать одинаковые безусловные вероятности отдельных позиций доказательством независимости этих позиций.

Как проверить себя. После первого выбора состав изменяется, поэтому совместная вероятность использует R/N · (R−1)/(N−1); равные маргинальные шансы не отменяют зависимости.

Схема к теме

Наглядная модель: Выбор с возвращением и без

Как возвращение предмета меняет пространство исходов, зависимость и формулы вероятностей.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните вероятность двух красных из урны 3 красных и 2 синих с возвращением и без него, объяснив каждую дробь и различие результатов 9/25 и 3/10.

В хорошем объяснении есть:

При возвращении дважды использовано 3/5, а без него второй шанс стал 2/4.
Изменение совместной вероятности связано с составом, а не с названием события.

Две разные модели

При выборе с возвращением предмет кладут обратно до следующего выбора и заново перемешивают. Состав совокупности остаётся тем же; при равномерном независимом механизме вероятность каждого типа постоянна. Без возвращения выбранный предмет больше недоступен. Тогда условные вероятности следующих результатов зависят от предыдущих.

Важно различать тип и конкретный предмет. Два одинаково окрашенных шара остаются разными физическими шарами, когда мы считаем равновозможные выборки. Если $R$ из $N$ шаров красные, вероятность первого красного равна $R/N$ в обеих моделях. Различие появляется в совместных событиях.

Порядок или набор

Для последовательного выбора без возвращения удобно дерево условных вероятностей. Для неупорядоченной выборки из $n$ предметов удобно число сочетаний: всего $\binom Nn$ наборов. Чтобы получить $k$ красных, выбирают $k$ из $R$ красных и $n-k$ из остальных. Требуются $0\le n\le N$ и физически возможные количества.

Три примера

В урне 3 красных и 2 синих шара. При двух выборах с возвращением вероятность двух красных $(3/5)^2=9/25$ .
Из той же урны без возвращения: $(3/5)(2/4)=3/10$ . После первого красного красных осталось два.
Вероятность одного красного и одного синего без возвращения равна $\binom31\binom21/\binom52=6/10=3/5$ . Через порядки получается $(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)$ .

Частые ошибки

Фраза «случайно выбрали» ещё не гарантирует равномерность. Без возвращения сами позиции могут иметь одинаковую безусловную вероятность красного, но это не делает их независимыми. При малой доле выборки иногда используют приближение моделью с возвращением; это приближение с погрешностью, а не точное равенство.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(\text{два красных})=\frac RN\frac{R-1}{N-1}

Формула словами: Два равномерных выбора без возвращения; N ≥ 2, R красных среди N.

P(X=k)=\frac{\binom Rk\binom{N-R}{n-k}}{\binom Nn}

Формула словами: Ровно k красных в равномерной n-элементной выборке без возвращения; учитываются допустимые k.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Урна с шарами Лаборатория: Карточная колода Лаборатория: Случайный выбор Лаборатория: Многоцветная урна

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.