Вероятность и статистика · Повторные испытания

Независимые испытания

Что значит независимость результатов нескольких опытов и когда вероятности можно перемножать.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Это основание для расчётов серий бросков, срабатываний устройств и выборов с возвращением. Без явно принятой независимости одинаковые вероятности отдельных попыток ещё не разрешают перемножать их.

Главная идея. Независимость серии означает, что сведения о результатах части испытаний не меняют модель остальных. Тогда вероятность конкретной цепочки событий равна произведению вероятностей её шагов.

План рассуждения и проверка понимания

Опишите результат каждого испытания и проверьте, остаются ли механизм и вероятности следующих шагов неизменными после наблюдений.
Для конкретной последовательности запишите вероятность нужного события на каждом шаге, включая разные значения, если испытания не одинаковы.
Перемножьте вероятности шагов и проверьте, требуется ли совместная независимость всей группы, а не только каждой пары событий.

Частая ошибка. Считать попарную независимость трёх событий достаточной для формулы общего пересечения или объявлять испытания независимыми лишь потому, что они проведены в разное время.

Как проверить себя. Для произведения целой цепочки нужна совместная независимость; дополнительно исключите общий скрытый фактор и изменение состава, как при выборе без возвращения.

Схема к теме

Наглядная модель: Независимые испытания

Что значит независимость результатов нескольких опытов и когда вероятности можно перемножать.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему после пяти орлов вероятность шестого орла у честной независимой монеты остаётся 1/2, но после красного шара без возвращения шанс следующего красного меняется.

В хорошем объяснении есть:

Независимость сформулирована как неизменность условной вероятности следующего шага.
Отмечено физическое изменение состава при выборе без возвращения.

Смысл независимости

Испытания независимы, если информация о результатах части опытов не меняет вероятностную модель результатов остальных. Для событий, определяемых разными испытаниями, вероятность совместного наступления равна произведению вероятностей. Независимость — предположение о модели, а не следствие того, что опыты проводились в разные моменты.

Вероятности успеха могут различаться. Два независимых выстрела с вероятностями попадания 0.7 и 0.9 — независимые испытания, но не схема Бернулли с единым параметром. В серии Бернулли дополнительно требуют одинаковую вероятность успеха и два учитываемых исхода в каждом испытании.

Проверка предпосылки

Честная монета не «помнит» прошлые броски в стандартной модели. Выбор шаров с возвращением после тщательного перемешивания также моделируют независимыми одинаковыми опытами. Без возвращения состав урны меняется. Общая скрытая причина, например качество партии, может связать результаты даже у физически разных предметов.

Три примера

Два независимых устройства включаются с вероятностями 0.8 и 0.9. Вероятность включения обоих равна $0.8\cdot0.9=0.72$ . Одинаковость вероятностей не нужна.
После пяти орлов подряд вероятность орла в следующем независимом броске честной монеты остаётся $1/2$ . «Компенсации» прошлой серии нет.
Из урны с двумя красными и одним синим шаром дважды выбирают с возвращением. Вероятность двух красных $(2/3)^2=4/9$ . Без возвращения она была бы $(2/3)(1/2)=1/3$ .

Тонкая ошибка

Для трёх событий попарной независимости недостаточно. В двух бросках честной монеты события «первый орёл», «второй орёл» и «результаты одинаковы» попарно независимы, но их общее пересечение имеет вероятность $1/4$ , а произведение вероятностей равно $1/8$ . Для умножения целой цепочки нужна совместная независимость.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\prod_{i=1}^nP(A_i)

Формула словами: Для совместно независимых событий; аналогичное равенство требуется для любой подгруппы.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.