Независимые события

Знание не меняет вероятность

Два события независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению отдельных вероятностей. Когда $P(B)>0$, это равносильно тому, что сообщение о событии $B$ не меняет вероятность $A$.

Для двух независимо брошенных честных монет событие «орёл на первой» имеет вероятность $1/2$ независимо от результата второй. Их совместное наступление имеет вероятность $1/4=(1/2)(1/2)$.

Независимость — свойство выбранной вероятностной модели, а не заключение по одному наблюдению. Физически разные устройства могут зависеть от общего источника питания или погоды. Слов «две попытки» недостаточно для умножения вероятностей без проверки условий.

Независимые — не значит несовместимые

Если $A$ и $B$ несовместимы и обе вероятности положительны, то $P(A\cap B)=0$, а $P(A)P(B)>0$. Значит, они зависимы. Сообщение, что произошло одно, исключает другое.

Например, события «выпала единица» и «выпала шестёрка» на одном кубике несовместимы и зависимы. События на двух независимых кубиках вполне могут произойти вместе и быть независимыми.

Событие вероятности $0$ или $1$ независимо от любого события. Поэтому определение через произведение удобнее условной формулы: оно не требует делить на вероятность условия.

Возвращение меняет модель

В мешке два красных и три синих шара. При двух равномерных извлечениях с возвращением и независимым повторным выбором вероятность красного каждый раз $2/5$. Без возвращения после первого красного остаётся один красный из четырёх, то есть условная вероятность второго $1/4$.

Для серии из трёх и более событий недостаточно одной попарной проверки: независимость всей совокупности требует согласованности всех совместных событий. Схема Бернулли использует именно независимость испытаний в совокупности.

Три примера

1. Даны $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$. Произведение $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$, значит события независимы.
2. При тех же отдельных вероятностях пересечение равно $0{,}3$. Тогда $P(A\mid B)=0{,}3/0{,}5=0{,}6\ne0{,}4$, поэтому события зависимы.
3. На честном кубике $A=\{2,4,6\}$, $B=\{1,2,3,4\}$. Вероятности $1/2$ и $2/3$, пересечение $\{2,4\}$ имеет вероятность $1/3$. Поскольку $(1/2)(2/3)=1/3$, события независимы даже внутри одного броска.