Совместимые и несовместимые события
Проверяем, могут ли два условия выполниться в одном исходе, и отличаем это от независимости.
Чему научимся
Различие нужно для правильного сложения вероятностей и для понимания зависимости. Два несовместимых события положительной вероятности зависимы, потому что наступление одного исключает другое.
Главная идея. Совместимые события имеют хотя бы один общий исход, а несовместимые не могут произойти в одном выполнении общего эксперимента. Это свойство множеств исходов, а не равенство или произведение вероятностей.
План рассуждения и проверка понимания
- Сначала задайте один общий эксперимент и пространство исходов, особенно если условия относятся к разным броскам или шагам.
- Выпишите множества A и B и найдите их пересечение; непустая общая часть означает совместимость.
- Если пересечение пусто, складывайте P(A) и P(B) без поправки; если нет, используйте общее правило объединения.
- Не делайте вывод о независимости по рисунку или пустоте пересечения: отдельно проверяйте вероятностное равенство.
Частая ошибка. Назвать несовместимые события независимыми, рассуждая, что они «не влияют друг на друга», хотя наступление одного делает второе невозможным.
Как проверить себя. При положительных P(A) и P(B) несовместимость даёт P(A ∩ B) = 0, тогда как независимость требовала бы положительное P(A)P(B).
Наглядная модель: Совместимые и несовместимые события
Проверяем, могут ли два условия выполниться в одном исходе, и отличаем это от независимости.
- Совместимые и несовместимые события → совместимость
- Совместимые и несовместимые события → несовместимость
- Совместимые и несовместимые события → пересечение
- Совместимые и несовместимые события → независимость
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Для событий A = {1,2}, B = {2,3}, C = {1,3} объясните, почему пустое тройное пересечение не означает попарную несовместимость.
В хорошем объяснении есть:
- Показаны попарные пересечения {2}, {1} и {3}, каждое из которых непусто.
- Объяснено, что лишь одновременного общего исхода для всех трёх нет, поэтому простая сумма трёх вероятностей неверна.
Могут ли произойти вместе
Совместимые события имеют хотя бы один общий исход. Несовместимые имеют пустое пересечение: в одном выполнении опыта они не могут произойти оба. Для одного броска кубика «единица» и «двойка» несовместимы, а «чётное» и «больше трёх» совместимы благодаря исходам и .
Сначала нужно определить общий опыт. «Единица на первом кубике» и «двойка на втором» могут произойти вместе. Те же слова о разных шагах не имеют той же несовместимости, что о единственном броске.
Не путайте с независимостью
Независимость описывается вероятностями, а несовместимость — отсутствием общих исходов. Если два несовместимых события имеют положительные вероятности, они зависимы: наступление одного исключает другое. Приписывать им произведение вероятностей как вероятность пересечения было бы ошибкой.
Нулевая вероятность пересечения не всегда доказывает его пустоту в бесконечной модели. Например, две области могут соприкасаться границей нулевой площади. В конечных равновозможных школьных моделях каждый исход положительной вероятности, и этот нюанс не возникает.
Несколько событий
Семейство попарно несовместимо, если пересечение пусто у каждой пары различных событий. Пустое пересечение всех трёх сразу слабее: попарные пересечения при этом могут существовать. Для прямого сложения вероятностей группы нужно именно попарное отсутствие пересечений.
Два несовместимых события не обязательно противоположны. Чтобы быть противоположными, они должны ещё охватывать всё пространство. Для кубика единица и двойка не покрывают четыре оставшиеся грани.
Три примера
- События «нечётное» и «чётное» на одном кубике несовместимы и вместе достоверны.
- «Меньше трёх» и «больше четырёх» несовместимы, но их объединение не включает и .
- Для , , тройное пересечение пусто, но каждая пара пересекается. Складывать три вероятности без поправок нельзя.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: У несовместимых событий нет общего исхода.
Формула словами: Для несовместимых событий вероятности складываются без поправки на пересечение.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.