Вероятность и статистика · Законы и теоремы

Теорема Бернулли о частоте

Строгая связь частоты успеха с вероятностью в независимой серии и конечная оценка точности.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Теорема связывает модельную вероятность с наблюдаемой частотой и даёт конечную верхнюю оценку риска заметного отклонения. Она объясняет стабилизацию данных без обещания точного равенства.

Главная идея. Теорема Бернулли утверждает, что в длинной независимой серии с постоянной вероятностью p относительная частота Sₙ/n обычно оказывается близкой к p, хотя на отдельных шагах может удаляться от неё.

План рассуждения и проверка понимания

Зафиксируйте число испытаний n, постоянную вероятность успеха p и допуск ε, а частоту запишите как Sₙ/n.
Проверьте независимость испытаний и неизменность p; без этих условий используемая оценка дисперсии может быть неверна.
Подставьте p(1 − p), n и ε² в границу Чебышёва для события |Sₙ/n − p| ≥ ε.
Читайте результат как верхнюю границу вероятности ошибки, а не как точную вероятность и не как гарантию одной траектории.

Частая ошибка. При p = 0,2 ожидать, что частота обязана монотонно приближаться к p, и считать любое временное удаление, например переход от 0,2 к 3/11, нарушением теоремы.

Как проверить себя. Теорема говорит о вероятности отклонения при растущем n, а не о каждом следующем шаге; отдельная реализация может колебаться в обе стороны.

Схема к теме

Наглядная модель: Теорема Бернулли о частоте

Строгая связь частоты успеха с вероятностью в независимой серии и конечная оценка точности.

Теорема Бернулли о частоте → теорема Бернулли
Теорема Бернулли о частоте → частота
Теорема Бернулли о частоте → сходимость по вероятности

Схема связывает понятие «Теорема Бернулли о частоте» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните смысл оценки 0,025 для p = 0,5, n = 1000 и ε = 0,1, не называя её точной вероятностью наблюдаемого отклонения.

В хорошем объяснении есть:

Событие сформулировано как отклонение частоты от 0,5 не менее чем на 0,1.
Число 0,025 истолковано как гарантированная верхняя граница по неравенству, которая может быть консервативной.

Частота приближается к вероятности

Теорема Бернулли — частный случай закона больших чисел для индикаторов успеха. В независимой серии с постоянной вероятностью $p$ относительная частота $S_n/n$ сходится к $p$ по вероятности. Это означает: для любого заранее выбранного положительного допуска вероятность выйти за этот допуск стремится к нулю.

Утверждение не требует, чтобы частота приближалась к $p$ монотонно, и не обещает точного равенства при конечном числе опытов. Прибавление одного результата может как уменьшить, так и увеличить текущее отклонение.

От дисперсии к оценке

Для одного индикатора ожидание $p$ , дисперсия $p(1-p)$ . Независимость даёт $\operatorname{Var}(S_n/n)=p(1-p)/n$ . Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность ошибки не меньше $\varepsilon$ числом $p(1-p)/(n\varepsilon^2)$ . Поскольку $p(1-p)\le1/4$ , существует и универсальная граница $1/(4n\varepsilon^2)$ .

Три примера

При $p=0.5$ , $n=1000$ и допуске 0.1 вероятность отклонения не менее 0.1 не больше $0.25/(1000\cdot0.01)=0.025$ .
Не зная $p$ , для допуска 0.05 и верхней границы ошибки 0.1 достаточно $n\ge1/(4\cdot0.05^2\cdot0.1)=1000$ испытаний.
При $p=0.2$ частота после 10 опытов может быть 0.2, а после следующего успеха — $3/11$ . Она отдалилась от вероятности; это не противоречит теореме.

Границы вывода

Полученные оценки достаточны и часто консервативны: реальный необходимый объём может быть меньше. Если условия меняются или испытания зависимы, приведённое доказательство неприменимо. Сходимость по вероятности — утверждение о вероятности отклонений, а не гарантия заранее выбранной траектории. Более сильное почти наверное утверждение требует отдельной формулировки.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\longrightarrow0

Формула словами: Независимые испытания с постоянной вероятностью p; ε>0 фиксировано, Sₙ — число успехов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Большие числа Формула Бернулли

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.