Вероятность и статистика · Случайные величины

Дискретная случайная величина

Конечные и счётные наборы значений, таблица вероятностей и вероятность события.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Модель подходит для числа посетителей, количества успехов и номера первой удачи. Она учит отличать теоретическую массу от наблюдаемой частоты и дискретность от целочисленности.

Главная идея. Дискретная случайная величина принимает конечный или счётный набор отдельных значений. Каждому значению сопоставляется вероятностная масса, а вероятность события получают суммой масс подходящих значений.

План рассуждения и проверка понимания

Перечислите все возможные значения xᵢ без повторов, включая нецелые значения, если они предусмотрены условием.
Назначьте каждому значению массу pᵢ, проверьте pᵢ ≥ 0 и сумму всех масс, равную единице.
Переведите событие, например X ≥ 1, в список допустимых значений из носителя и сложите только их вероятности.
Не заполняйте промежутки между точками: значения, которых нет в законе, имеют нулевую массу независимо от близости границ.

Частая ошибка. Считать величину непрерывной только потому, что возможных значений бесконечно много, хотя номер первого успеха принимает счётные значения 1, 2, 3 и так далее.

Как проверить себя. Проверяйте возможность перечисления значений, а не их количество: натуральный ряд счётен, поэтому массы отдельных номеров можно сложить в единицу.

Схема к теме

Наглядная модель: Дискретная случайная величина

Конечные и счётные наборы значений, таблица вероятностей и вероятность события.

Дискретная случайная величина → дискретность
Дискретная случайная величина → вероятностная масса
Дискретная случайная величина → счётное множество

Схема связывает понятие «Дискретная случайная величина» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для закона со значениями 0, 1, 2 и вероятностями 0,2; 0,5; 0,3 объясните вычисление P(X ≥ 1) и две проверки таблицы.

В хорошем объяснении есть:

Событию соответствуют значения 1 и 2, поэтому массы складываются: 0,5 + 0,3 = 0,8.
Все массы неотрицательны и их полная сумма 0,2 + 0,5 + 0,3 равна единице.

Отдельные значения

Дискретная случайная величина принимает значения из конечного или счётного множества с суммарной вероятностью 1. Счётность означает возможность перечислить значения последовательностью: первое, второе и так далее. Число посетителей за час и номер первой успешной попытки дискретны. Дискретные значения не обязаны быть целыми: призы 0, 2.5 и 7.5 единицы тоже образуют конечный набор.

Каждому значению $x_i$ сопоставляют вероятность $p_i$ . Это функция вероятностной массы, часто называемая PMF. Её столбцы по высоте показывают вероятности отдельных точек. Все высоты неотрицательны и в сумме дают 1.

Как вычислять событие

Условие на $X$ переводят в перечень подходящих значений, затем складывают соответствующие массы. Не подходят — значит не включаются, даже если между двумя допустимыми значениями лежит целый интервал вещественных чисел. Плотность для такого подсчёта не нужна.

Три примера

$X$ принимает 0, 1 и 2 с вероятностями 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда $P(X\ge1)=0.5+0.3=0.8$ .
Номер первого орла в независимых бросках честной монеты может быть любым натуральным числом. Его вероятности $1/2,1/4,1/8,\ldots$ суммируются в 1: бесконечное множество значений не делает величину непрерывной.
Величина принимает 1.5 и 3.5 с равными вероятностями. Событие $2<X<3$ невозможно, хотя его границы лежат между возможными значениями.

Типичные ошибки

Нельзя путать массу с частотой конечной выборки: наблюдаемые доли могут отклоняться от модели. Если таблица перечисляет все значения, а вероятности суммируются в 0.9, модель неполна или ошибочна. Округлённые измерения могут давать дискретную запись даже при непрерывной модели самой физической величины.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X\in B)=\sum_{x_i\in B}p_i,\qquad p_i=P(X=x_i)

Формула словами: Для дискретной величины: pᵢ ≥ 0, сумма всех pᵢ равна 1.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.