Вероятность и статистика · Подсчёт вариантов

Треугольник Паскаля

Как строить таблицу сочетаний сложением и читать её строки в задачах выбора и испытаний.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Он быстро даёт числа сочетаний и количество последовательностей с заданным числом успехов, показывает симметрию выбора дополнения и связывает комбинаторику с биномиальным распределением.

Главная идея. Треугольник Паскаля хранит биномиальные коэффициенты: края равны единице, каждый внутренний элемент складывается из двух чисел над ним, а строка n содержит коэффициенты C(n,0)…C(n,n).

План рассуждения и проверка понимания

Начните нумерацию с нулевой строки 1, поставьте единицы по краям и получите каждый внутренний элемент суммой двух соседей предыдущей строки.
Для задачи выбора сопоставьте позицию k коэффициенту C(n,k), помня, что в строке n находится n + 1 число.
Если считаете вероятность честной монеты, разделите нужный коэффициент на 2ⁿ и проверьте, что сумма всей строки равна 2ⁿ.

Частая ошибка. Нумеровать первую видимую строку единицей и потому брать соседний коэффициент, либо воспринимать числа строки сразу как вероятности без деления на общее число последовательностей.

Как проверить себя. Строка начинается с номера 0, а коэффициенты являются количествами; для n честных бросков знаменатель вероятностей равен 2ⁿ, то есть сумме строки.

Схема к теме

Наглядная модель: Треугольник Паскаля

Как строить таблицу сочетаний сложением и читать её строки в задачах выбора и испытаний.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Постройте строку 1, 5, 10, 10, 5, 1 из предыдущей и объясните, почему число 10 одновременно считает выбор двух объектов из пяти и последовательности с двумя орлами.

В хорошем объяснении есть:

Внутренние числа получены сложением соседей сверху, а края оставлены единицами.
Коэффициент C(5,2) связан с выбором позиций двух успехов из пяти.

Как устроен треугольник

Треугольник Паскаля начинается с нулевой строки, состоящей из одной единицы. На краях каждой следующей строки стоят единицы, а каждый внутренний элемент равен сумме двух соседей над ним. Строка с номером $n$ содержит $n+1$ чисел: $\binom n0,\binom n1,\ldots,\binom nn$ . Нумерация с нуля принципиальна: строка «1, 2, 1» имеет номер 2.

Первые строки выглядят так: 1; затем 1, 1; затем 1, 2, 1; затем 1, 3, 3, 1; затем 1, 4, 6, 4, 1. Это не просто узор. Каждый элемент считает подмножества фиксированного размера, а сложение соответствует разделению выбора на случаи «данный элемент включён» и «не включён».

Как читать строку

Симметрия относительно середины следует из выбора дополнения. Сумма строки $n$ равна $2^n$ . При $n$ бросках симметричной монеты числа строки показывают, сколько последовательностей содержат 0, 1, …, $n$ орлов. Для вероятностей эти числа нужно разделить на $2^n$ ; при несимметричной монете требуется другой вес каждой группы.

Три примера

Из строки 1, 4, 6, 4, 1 строим следующую: края 1, внутри $1+4=5$ , $4+6=10$ , $6+4=10$ , $4+1=5$ . Получаем 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Третий элемент строки 5 при счёте позиций с единицы — $\binom52=10$ . Он считает выбор двух элементов из пяти, а не трёх.
При четырёх независимых бросках честной монеты ровно два орла дают 6 из 16 последовательностей. Вероятность $6/16=3/8$ .

Проверки и ограничения

Сумма новой строки должна быть вдвое больше предыдущей. Это удобная проверка арифметики, но не доказательство правильности каждого элемента. Не путайте номер строки и её длину. Треугольник особенно нагляден при небольших $n$ ; для больших чисел эффективнее сокращать произведения или использовать вычислитель.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k

Формула словами: Внутренний элемент — сумма двух элементов над ним; 1 ≤ k ≤ n−1.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.