Вероятность и статистика · Математическая основа

Интеграл и площадь под графиком

Готовимся к плотности вероятности: различаем значение функции и накопленную площадь.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Интеграл связывает плотность непрерывной случайной величины с вероятностью интервала. Он помогает не путать высоту графика плотности с шансом: вероятность задаёт площадь, учитывающая и высоту, и ширину.

Главная идея. Определённый интеграл суммирует непрерывные малые вклады; для неотрицательной функции он равен площади под графиком. Через первообразную F его вычисляют как F(b) − F(a).

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте границы интегрирования и смысл функции: для геометрической площади отметьте участки, где функция может быть отрицательной.
Найдите первообразную F и вычислите её значения на верхней и нижней границах в порядке F(b) − F(a).
Если функция является плотностью, проверьте неотрицательность, полную площадь 1 и интерпретируйте найденную площадь как вероятность интервала.

Частая ошибка. Принимать значение плотности f(x) за вероятность точки или считать, что плотность не может превышать единицу, хотя ограничение от 0 до 1 относится к площади события.

Как проверить себя. Для непрерывной величины вероятность интервала равна интегралу; плотность на коротком промежутке может быть выше единицы, если общая площадь под кривой остаётся равной единице.

Схема к теме

Наглядная модель: Интеграл и площадь под графиком

Готовимся к плотности вероятности: различаем значение функции и накопленную площадь.

Интеграл и площадь под графиком → интеграл
Интеграл и площадь под графиком → площадь
Интеграл и площадь под графиком → производная
Интеграл и площадь под графиком → плотность
Интеграл и площадь под графиком → первообразная

Схема связывает понятие «Интеграл и площадь под графиком» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, как плотность 2 на отрезке длины 0,5 задаёт корректную модель с полной вероятностью 1 и почему вероятность отдельной точки при этом не равна двум.

В хорошем объяснении есть:

Вычислена площадь прямоугольника как произведение высоты на ширину.
Различены значение плотности, вероятность интервала и вероятность отдельной точки.

Много маленьких вкладов

Определённый интеграл суммирует вклад функции вдоль интервала. Для неотрицательной непрерывной функции $f$ на $[a,b]$ он равен площади между графиком и осью. Идея вычисления — разбить интервал на короткие участки, сложить площади прямоугольников и уточнять разбиение.

Если функция бывает отрицательной, интеграл учитывает площади со знаком. Геометрическая площадь требует интегрировать модуль либо разбирать участки отдельно. В модели плотности отрицательных значений быть не должно, поэтому вероятность получается обычной неотрицательной площадью.

Производная и накопление

Первообразная $F$ имеет производную $f$ . Для непрерывной $f$ формула Ньютона–Лейбница даёт интеграл как $F(b)-F(a)$ . Слагаемая константа в первообразной исчезает при вычитании. Нижний и верхний пределы — границы накопления, а буква $x$ внутри интеграла является переменной интегрирования.

Например, первообразная $2x$ — $x^2$ . Поэтому интеграл $2x$ от $0$ до $1$ равен $1$ . Это ещё не делает функцию $2x$ плотностью на всей прямой: нужно задать её равной нулю вне $[0,1]$ и проверить нормировку.

Вероятность не равна высоте

Значение плотности в точке может превосходить единицу. Вероятность интервала зависит от площади, то есть от высоты вместе с шириной. У равномерной модели на $[0,0{,}5]$ плотность равна $2$ , но вся площадь $2\cdot0{,}5=1$ .

Это дополнительная подготовка к непрерывным распределениям, а не полный курс анализа. Без условия существования плотности нельзя автоматически представлять всякую вероятность интегралом обычной функции.

Три примера

Постоянная функция $f=3$ на $[1,4]$ имеет интеграл $3(4-1)=9$ .
Для $f(x)=2x$ на $[0,1]$ площадь до $1/2$ равна $(1/2)^2=1/4$ .
Плотность равномерной модели на $[2,6]$ равна $1/4$ . Вероятность попасть между $3$ и $5$ — площадь $2\cdot1/4=1/2$ , а не высота $1/4$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad F'=f

Формула словами: Формула Ньютона–Лейбница для непрерывной f и её первообразной F.

P(a<X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

Формула словами: Если X имеет плотность f, вероятность интервала равна площади под неотрицательной плотностью.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.