Вероятность и статистика · Случайные величины

Операции со случайными величинами

Как получить закон преобразованной величины и почему для суммы важна зависимость.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Операции со случайными величинами описывают прибыль, суммарный результат, масштабирование измерений и нелинейные показатели. Они показывают, когда независимость позволяет выполнить свёртку, а когда зависимость меняет ответ полностью.

Главная идея. Преобразование g(X) переносит вероятность всех исходных значений в новые: если несколько x дают один y, их массы складываются. Для суммы X+Y требуется совместный закон, а не только два отдельных распределения.

План рассуждения и проверка понимания

Перечислите возможные исходные значения и вычислите g(x) для каждого, сохраняя прикреплённые к ним вероятности.
Объедините одинаковые новые значения сложением их масс; для функции двух величин сначала задайте допустимые пары и совместные вероятности.
Проверьте неотрицательность и сумму нового закона, область определения функции и невозможные операции вроде деления на ноль.

Частая ошибка. Считать E[g(X)] равным g(E[X]) или строить закон X+Y только по отдельным законам, не уточнив зависимость между X и Y.

Как проверить себя. Преобразуйте каждое возможное значение с его массой; для суммы используйте совместные пары. При Y = X результат 2X принципиально отличается от суммы независимых копий.

Схема к теме

Наглядная модель: Операции со случайными величинами

Как получить закон преобразованной величины и почему для суммы важна зависимость.

Операции со случайными величинами → преобразование
Операции со случайными величинами → сумма величин
Операции со случайными величинами → зависимость

Схема связывает понятие «Операции со случайными величинами» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему величина X² становится постоянной 4, если X принимает −2 и 2, и куда переходят вероятности 0,3 и 0,7 после объединения одинаковых образов.

В хорошем объяснении есть:

Оба исходных значения отображены в одно новое значение 4.
Их вероятности сложены до единицы, а не сохранены как два одинаковых пункта закона.

Новая величина из старой

Если $X$ — случайная величина, то подходящая числовая функция $g(X)$ тоже задаёт величину. Умножение, сдвиг, квадрат, максимум и сумма встречаются в прикладных задачах постоянно. Но распределение нужно преобразовывать, а не просто подставлять выражение в вероятности.

Для дискретного $X$ перечисляют значения $g(x)$ и объединяют одинаковые результаты. Если преобразование не взаимно однозначно, одно новое значение может иметь несколько прообразов. Вероятности этих несовместных исходных значений складываются.

Сумма требует совместной модели

Знания законов $X$ и $Y$ недостаточно для закона $X+Y$ . Нужно знать, какие пары значений возникают совместно. При независимости совместная вероятность равна произведению масс, поэтому сумму находят свёрткой. Если $Y=X$ , независимости обычно нет: сумма равна $2X$ , что даёт другой закон.

Три примера

$X$ принимает $-2$ и 2 с вероятностями 0.3 и 0.7. Тогда $X^2=4$ с вероятностью 1: обе массы объединяются.
$X$ принимает 0 и 1 с вероятностями 0.6 и 0.4. Величина $Y=3X+2$ принимает 2 и 5 с теми же вероятностями.
Независимые индикаторы $X,Y$ честных монет дают сумму 0, 1, 2 с вероятностями $1/4,1/2,1/4$ . Если же $Y=X$ , сумма принимает только 0 и 2 с вероятностями по $1/2$ .

Проверки и ограничения

Преобразованный закон снова должен иметь неотрицательные вероятности с суммой 1. Для дроби $X/Y$ нужно проверить, что знаменатель не равен нулю с положительной вероятностью, либо специально определить поведение там. В общем случае $E[g(X)]$ не равно $g(E[X])$ : квадрат среднего не заменяет среднего квадрата.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(g(X)=y)=\sum_{x:\,g(x)=y}P(X=x)

Формула словами: В дискретном случае массы всех прообразов складываются.

P(X+Y=z)=\sum_xP(X=x,Y=z-x)

Формула словами: Закон суммы определяется совместным распределением, а не только отдельными законами.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.