Площади поверхностей и объёмы · 11 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПлощади поверхностей и объёмы

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Площадь поверхности измеряет внешнюю границу пространственного тела в квадратных единицах, а объём — занимаемое им пространство в кубических единицах; боковая поверхность не включает основания.

У цилиндра Sбок = 2πRh и V = πR²h, у конуса Sбок = πRl и V = πR²h/3, у сферы S = 4πR², у шара V = 4πR³/3; к боковой поверхности добавляют существующие основания.

Для цилиндра Sбок = 2πRh и V = πR²h; для конуса Sбок = πRl и V = πR²h/3; для сферы и шара S = 4πR² и V = 4πR³/3.

Сначала распознают тело и различают образующую l, высоту h и радиус R. Полная площадь добавляет площади оснований, а объём всегда записывают в кубических единицах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Периметр складывает длины границы, а площадь измеряет число единичных квадратов внутри фигуры. Поэтому эти величины имеют разные единицы: линейные для периметра и квадратные для площади.

Схема к теме

Алгоритм: Площади поверхностей и объёмы

1. Распознать — тело и различить радиус, высоту и образующую
2. Решить, требуется — боковая или полная поверхность либо объём
3. Подставить — согласованные единицы и проверить степень размерности ответа

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: У цилиндра Sбок = 2πRh и V = πR²h, у конуса Sбок = πRl и V = πR²h/3, у сферы S = 4πR², у шара V = 4πR³/3; к боковой поверхности добавляют существующие основания.

Опорная формула

S_{\text{цил}}=2\pi R(R+h),\ V_{\text{цил}}=\pi R^2h;\quad S_{\text{сф}}=4\pi R^2,\ V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3

Формула словами

Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух кругов. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса, а объём шара — кубу радиуса.

Полная поверхность и объём цилиндра, площадь сферы и объём шара.

Расшифровка

Обозначения и термины

P: периметр фигуры
S: площадь фигуры
a, b: длины сторон прямоугольника
см²: квадратная единица площади

Алгоритм

Как решать задачи

распознать тело и различить радиус, высоту и образующую
решить, требуется боковая или полная поверхность либо объём
подставить согласованные единицы и проверить степень размерности ответа

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите полную поверхность и объём цилиндра радиуса 2 и высоты 5.

S = 2π · 2 · (2 + 5) = 28π.
V = π · 2² · 5 = 20π.

Ответ: S = 28π, V = 20π

Пример 2

Найдите площадь сферы и объём шара радиуса 3.

S = 4π · 3² = 36π.
V = 4π · 3³ / 3 = 36π.

Ответ: S = 36π, V = 36π

Самопроверка

Типичные ошибки

путать периметр и площадь
смешивать сантиметры и метры
забывать квадратные или кубические единицы

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Площади поверхностей и объёмы» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать периметр и площадь

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Площадь поверхности измеряет внешнюю границу пространственного тела в квадратных единицах, а объём — занимаемое им пространство в кубических единицах; боковая поверхность не включает основания.
Вы расшифровали математическую запись словами: Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух кругов. Площадь сферы пропорциональна квадрату радиуса, а объём шара — кубу радиуса.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…