Сечения тел вращения · 11 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюСечения тел вращения

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Сечение тела вращения — фигура пересечения тела с плоскостью: осевое сечение цилиндра является прямоугольником, конуса — равнобедренным треугольником. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку шара, пересекает его по кругу; касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку.

При 0 ≤ d < R сечение шара радиуса R плоскостью на расстоянии d от центра — круг радиуса √(R² − d²). При d = R пересечение — одна точка, при d > R общих точек нет. Плоскость внутри цилиндра или конуса, параллельная основанию, даёт круг.

Плоскость через ось цилиндра даёт прямоугольник, через ось конуса — равнобедренный треугольник. Сечение шара радиуса R плоскостью на расстоянии d < R от центра — круг; при d = R пересечение состоит из одной точки, при d > R оно пусто.

Если плоскость находится на расстоянии d от центра шара радиуса R, радиус сечения ρ находят из прямоугольного треугольника: ρ² + d² = R².

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Схема к теме

Алгоритм: Сечения тел вращения

1. Определить — положение секущей плоскости относительно оси, основания и центра тела
2. Распознать — плоскую фигуру сечения и построить её характерные размеры
3. Свести вычисление — к прямоугольному треугольнику или площади найденной фигуры

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: При 0 ≤ d < R сечение шара радиуса R плоскостью на расстоянии d от центра — круг радиуса √(R² − d²). При d = R пересечение — одна точка, при d > R общих точек нет. Плоскость внутри цилиндра или конуса, параллельная основанию, даёт круг.

Опорная формула

\rho^2+d^2=R^2,\qquad \rho=\sqrt{R^2-d^2}

Формула словами

Радиус сечения, расстояние от центра шара до секущей плоскости и радиус шара образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой R.

Радиус кругового сечения шара через расстояние от его центра до секущей плоскости.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн: площадь основания
h: перпендикулярная высота
V = Sосн·h: объём призмы
V = ⅓Sосн·h: объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

определить положение секущей плоскости относительно оси, основания и центра тела
распознать плоскую фигуру сечения и построить её характерные размеры
свести вычисление к прямоугольному треугольнику или площади найденной фигуры

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Шар радиуса 5 пересечён плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите радиус сечения.

ρ² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
ρ = 4.

Ответ: 4

Пример 2

Какую фигуру даёт осевое сечение цилиндра радиуса 3 и высоты 8?

Плоскость через ось пересекает основания по диаметрам 6.
Боковые образующие имеют длину 8, поэтому сечение — прямоугольник 6 × 8.

Ответ: Прямоугольник 6 × 8

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
терять коэффициент 1/3 у пирамиды
строить сечение без проверки принадлежности точек граням

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Сечения тел вращения» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Сечение тела вращения — фигура пересечения тела с плоскостью: осевое сечение цилиндра является прямоугольником, конуса — равнобедренным треугольником. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку шара, пересекает его по кругу; касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку.
Вы расшифровали математическую запись словами: Радиус сечения, расстояние от центра шара до секущей плоскости и радиус шара образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой R.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…