Сечения тел вращения · 11 класс

Главная идея

Что нужно понять

Сечение тела вращения — фигура пересечения тела с плоскостью: осевое сечение цилиндра является прямоугольником, конуса — равнобедренным треугольником, а любое сечение шара плоскостью — кругом.

Плоскость, параллельная основанию цилиндра или конуса, даёт круг; для шара радиуса R и плоскости на расстоянии d от центра радиус круга сечения равен √(R² − d²).

Плоскость через ось цилиндра даёт прямоугольник, через ось конуса — равнобедренный треугольник, параллельно основанию — круг. Любое плоское сечение шара является кругом.

Если плоскость находится на расстоянии d от центра шара радиуса R, радиус сечения ρ находят из прямоугольного треугольника: ρ² + d² = R².

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Объём прямой призмы равен числу единичных слоёв основания, уложенных по высоте. Пирамида с теми же основанием и высотой занимает треть объёма призмы — это подтверждается разбиением соответствующих тел.

Опорная формула

\rho^2+d^2=R^2,\qquad \rho=\sqrt{R^2-d^2}

Формула словами

Радиус сечения, расстояние от центра шара до секущей плоскости и радиус шара образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой R.

Радиус кругового сечения шара через расстояние от его центра до секущей плоскости.

Расшифровка

Обозначения и термины

Sосн: площадь основания
h: перпендикулярная высота
V = Sосн·h: объём призмы
V = ⅓Sосн·h: объём пирамиды

Алгоритм

Как решать задачи

определить положение секущей плоскости относительно оси, основания и центра тела
распознать плоскую фигуру сечения и построить её характерные размеры
свести вычисление к прямоугольному треугольнику или площади найденной фигуры

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Шар радиуса 5 пересечён плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите радиус сечения.

ρ² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
ρ = 4.

Ответ: 4

Пример 2

Какую фигуру даёт осевое сечение цилиндра радиуса 3 и высоты 8?

Плоскость через ось пересекает основания по диаметрам 6.
Боковые образующие имеют длину 8, поэтому сечение — прямоугольник 6 × 8.

Ответ: Прямоугольник 6 × 8

Самопроверка

Типичные ошибки

принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы
терять коэффициент 1/3 у пирамиды
строить сечение без проверки принадлежности точек граням