Площади многоугольников · 8 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПлощади многоугольников

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Площадь многоугольника — величина его внутренней области; она сохраняется при разбиении и перестановке неперекрывающихся частей и измеряется в квадратных единицах.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, параллелограмма — произведению основания на высоту, трапеции — полусумме оснований, умноженной на высоту.

Площадь многоугольника находят по формуле для его вида или разбиением на неперекрывающиеся части. Для треугольника S = ah/2, для параллелограмма S = ah, для трапеции S = (a + b)h/2.

Высота всегда перпендикулярна выбранному основанию. При разбиении площади складывают, а площадь вырезанной части вычитают; все длины заранее приводят к одной единице.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Периметр складывает длины границы, а площадь измеряет число единичных квадратов внутри фигуры. Поэтому эти величины имеют разные единицы: линейные для периметра и квадратные для площади.

Схема к теме

Алгоритм: Площади многоугольников

1. Распознать — многоугольник либо разбить его на простые неперекрывающиеся фигуры
2. Выбрать основание — и провести перпендикулярную ему высоту
3. Сложить или — вычесть площади частей и записать квадратные единицы

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, параллелограмма — произведению основания на высоту, трапеции — полусумме оснований, умноженной на высоту.

Опорная формула

S_{\triangle}=\frac{ah}{2},\qquad S_{\parallel}=ah,\qquad S_{\text{трап}}=\frac{(a+b)h}{2}

Формула словами

Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту; площадь трапеции — половине произведения суммы оснований на высоту.

Основные формулы площадей треугольника, параллелограмма и трапеции.

Расшифровка

Обозначения и термины

P: периметр фигуры
S: площадь фигуры
a, b: длины сторон прямоугольника
см²: квадратная единица площади

Алгоритм

Как решать задачи

распознать многоугольник либо разбить его на простые неперекрывающиеся фигуры
выбрать основание и провести перпендикулярную ему высоту
сложить или вычесть площади частей и записать квадратные единицы

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см.

Используем S = ah/2.
S = 10 · 6 / 2 = 30 см².

Ответ: 30 см²

Пример 2

Найдите площадь трапеции с основаниями 5 см и 9 см и высотой 4 см.

S = (a + b)h/2.
S = (5 + 9) · 4 / 2 = 28 см².

Ответ: 28 см²

Самопроверка

Типичные ошибки

путать периметр и площадь
смешивать сантиметры и метры
забывать квадратные или кубические единицы

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Площади многоугольников» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: путать периметр и площадь

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Площадь многоугольника — величина его внутренней области; она сохраняется при разбиении и перестановке неперекрывающихся частей и измеряется в квадратных единицах.
Вы расшифровали математическую запись словами: Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту; площадь трапеции — половине произведения суммы оснований на высоту.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…