Уравнения прямой и окружности · 9 класс

Главная идея

Что нужно понять

Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр, а касательная имеет с окружностью одну общую точку.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Прямая задаётся уравнением Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно. Окружность с центром (a; b) и радиусом R задаётся уравнением (x − a)² + (y − b)² = R².

При составлении уравнения подставляют известную точку и направление либо центр и радиус. Общие точки прямой и окружности находят решением системы; число решений показывает взаимное расположение.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Все точки окружности находятся на одном расстоянии от центра. Из равенства радиусов возникают равнобедренные треугольники, а из них — связи между центральными, вписанными углами, хордами и касательными.

Опорная формула

L=2\pi R,\qquad S=\pi R^2

Формула словами

Длина окружности равна двум радиусам, умноженным на число пи; площадь круга равна пи, умноженному на квадрат радиуса.

Длина окружности и площадь круга.

Расшифровка

Обозначения и термины

R: радиус окружности
d = 2R: диаметр
L = 2πR: длина окружности
S = πR²: площадь круга

Алгоритм

Как решать задачи

отметить центр, радиусы и точки касания
найти подходящий угол или треугольник
применить теорему и проверить единицы

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите длину окружности радиуса 3.

Используем формулу L = 2πR.
Подставляем R = 3.

Ответ: 6π

Пример 2

Радиус круга равен 6. Найдите длину окружности и площадь.

L = 2π · 6 = 12π.
S = π · 6² = 36π.

Ответ: L = 12π, S = 36π

Самопроверка

Типичные ошибки

путать радиус и диаметр
использовать формулу площади вместо длины
не видеть прямой угол в точке касания