Вероятность и статистика · Повторные испытания

Хотя бы один успех

Вычисляем вероятность одного или нескольких успехов через вероятность полного отсутствия успехов.

7 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Приём сокращает длинную сумму случаев в задачах о повторных попытках и позволяет находить минимальное число испытаний для заданного шанса. Он работает особенно прозрачно при независимых попытках.

Главная идея. Событие «хотя бы один успех» включает один, два и любое большее число успехов. Обычно проще посчитать единственный противоположный случай «ни одного успеха» и вычесть его вероятность из единицы.

План рассуждения и проверка понимания

Точно отрицайте исходное условие: противоположным к «хотя бы одному» является «ни одного», а не «ровно один».
Для каждой попытки найдите вероятность неудачи 1 − p; если вероятности различаются, сохраните отдельные множители 1 − pᵢ.
Только после проверки независимости перемножьте вероятности всех неудач или возведите 1 − p в степень n.
Вычтите полученную вероятность из единицы и проверьте крайние случаи n = 0, p = 0 и p = 1.

Частая ошибка. Считать «хотя бы один» как «ровно один» и применять n p (1 − p)^(n−1), теряя серии с двумя и большим числом успехов.

Как проверить себя. Объедините все положительные числа успехов через дополнение: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ при независимых одинаковых попытках.

Схема к теме

Наглядная модель: Хотя бы один успех

Вычисляем вероятность одного или нескольких успехов через вероятность полного отсутствия успехов.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните для трёх независимых попыток с p = 0,2 вероятность хотя бы одного успеха 0,488 и вероятность ровно одного успеха 0,384.

В хорошем объяснении есть:

Для первого события использовано дополнение 1 − 0,8³, охватывающее один, два и три успеха.
Для второго события учтены три положения единственного успеха, а остальные две попытки обязаны быть неудачами.

Один, два и больше

«Хотя бы один успех» означает один или больше. В трёх бросках монеты это один, два или три орла. Прямой подсчёт складывает несколько случаев; дополнение объединяет всё, что не подходит, в одно условие — «ни одного орла».

В одном испытании вероятность неудачи $1-p$ . Для $n$ независимых испытаний с тем же $p$ вероятность всех неудач равна $(1-p)^n$ . Вычитаем её из единицы.

Условия нельзя пропускать

Вычесть вероятность противоположного события из $1$ можно всегда. Возвести $1-p$ в степень $n$ можно именно при независимости и постоянном $p$ . Если независимые попытки имеют разные вероятности $p_1,\ldots,p_n$ , перемножаем соответствующие вероятности неудач.

Для зависимых попыток нужны условные вероятности. Если первый результат полностью определяет второй, добавление второй записи не создаёт нового шанса. Например, два индикатора, копирующие один бросок монеты, не дают вероятность $3/4$ увидеть хотя бы один орёл: она остаётся $1/2$ .

Сколько попыток нужно

Хотим получить вероятность не ниже $0{,}9$ при $p=0{,}5$ . Для трёх попыток $1-0{,}5^3=0{,}875$ — мало. Для четырёх $1-0{,}5^4=0{,}9375$ — достаточно. Проверка соседних целых помогает найти минимальное число попыток.

Для $0<p<1$ и $0<r<1$ неравенство $1-(1-p)^n\ge r$ даёт $n\ge\ln(1-r)/\ln(1-p)$ . Знак меняется при делении, потому что $\ln(1-p)<0$ . Итог округляют вверх и проверяют подстановкой. Это дополнительный способ для тех, кто уже знаком с логарифмами.

Три примера

Два независимых броска честной монеты. Хотя бы один орёл: $1-(1/2)^2=3/4$ .
Три независимые попытки с $p=0{,}2$ . Хотя бы один успех: $1-0{,}8^3=0{,}488$ . Вероятность ровно одного здесь $3\cdot0{,}2\cdot0{,}8^2=0{,}384$ — другое событие.
Две независимые попытки с вероятностями $0{,}2$ и $0{,}5$ . Хотя бы один успех: $1-(1-0{,}2)(1-0{,}5)=0{,}6$ .

При нуле попыток вероятность хотя бы одного успеха равна $0$ . При $p=0$ она остаётся нулевой для любого числа попыток; при $p=1$ уже одна попытка даёт успех достоверно. Для $0<p<1$ конечное число попыток не даёт точной гарантии $100\%$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X\ge1)=1-(1-p)^n

Формула словами: n независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха p.

P(\text{хотя бы один})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i)

Формула словами: При независимости вероятности отдельных успехов могут различаться.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Хотя бы один успех Формула Бернулли

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.