Вероятность и статистика · Законы и теоремы

Закон больших чисел

Почему частота стабилизируется в длинной серии и почему это не обязывает монету исправлять прошлое.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Он объясняет устойчивость частот и выборочных средних, но защищает от ошибки игрока: длинная серия стабилизируется не потому, что следующий результат обязан компенсировать прошлые отклонения.

Главная идея. Закон больших чисел говорит, что в длинной серии независимых одинаковых испытаний частота Xₙ/n становится близкой к вероятности p: шанс заметного отклонения уменьшается при росте n.

План рассуждения и проверка понимания

Проверьте условия серии: одинаковый шанс успеха, независимость испытаний и заранее выбранный допуск ε для частоты.
Отделите абсолютное отклонение числа успехов от относительного отклонения частоты и сравнивайте именно Xₙ/n с p.
Интерпретируйте предел как уменьшение вероятности большой ошибки, а не как точное равенство после некоторого универсального номера опыта.

Частая ошибка. Решать, что после длинной серии орлов монета «должна» выдать решку, или ожидать монотонного приближения частоты к p в каждой конкретной траектории.

Как проверить себя. При независимых бросках следующий шанс остаётся прежним; стабилизация возникает потому, что новые результаты уменьшают относительный вес раннего отклонения во всей накопленной частоте.

Схема к теме

Наглядная модель: Закон больших чисел

Почему частота стабилизируется в длинной серии и почему это не обязывает монету исправлять прошлое.

Закон больших чисел → закон больших чисел
Закон больших чисел → сходимость
Закон больших чисел → частота
Закон больших чисел → среднее
Закон больших чисел → Бернулли

Схема связывает понятие «Закон больших чисел» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Поясните, как абсолютная ошибка 200 орлов в 10 000 бросках может быть больше ошибки 10 орлов в 100 бросках, хотя частота в первом случае ближе к 1/2.

В хорошем объяснении есть:

Абсолютные отклонения переведены в доли 200/10000 и 10/100.
Сформулировано вероятностное, а не детерминированное содержание закона.

Длинная серия устойчивее короткой

В десяти бросках честной монеты семь орлов не выглядят удивительно. В ста тысячах независимых бросков частота обычно гораздо ближе к $0{,}5$ . Закон больших чисел объясняет эту стабилизацию. Он не обещает точного равенства частоты и вероятности в конечной серии.

Для независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха $p$ обозначим число успехов в первых $n$ испытаниях через $X_n$ . Частота — $X_n/n$ . Для любого заранее выбранного допуска $\varepsilon>0$ вероятность отклонения частоты от $p$ более чем на $\varepsilon$ стремится к нулю при росте $n$ . Это сходимость по вероятности.

Первое знакомство с законом относится к школьному маршруту 9 класса. Формальная запись сходимости и оценка разброса в этой статье — углубление; краткий фильтр по классу не означает, что всё доказательство обязательно в 9 классе.

Что показывает график

Каждая точка траектории использует все наблюдения до этого момента. Поэтому соседние точки зависимы: это не разные независимые серии. Частота может то приближаться к $p$ , то удаляться. Теорема не утверждает монотонного сближения или существования универсального числа бросков, после которого ошибка исчезнет.

Абсолютная разность между числом орлов и половиной числа бросков может расти, пока относительная разность уменьшается. Например, $60$ орлов из $100$ отличаются от половины на $10$ , а $5200$ из $10000$ — на $200$ . Но ошибка доли уменьшилась с $0{,}1$ до $0{,}02$ .

Монета ничего не должна

Если в десяти независимых бросках честной монеты выпали десять орлов, вероятность орла в одиннадцатом остаётся $1/2$ . Прошлое не заставляет решку «компенсировать» перевес. Новые наблюдения постепенно уменьшают вес старой короткой серии в общей доле.

Такая компенсация не нужна и для средней частоты. Условное ожидаемое число орлов после ещё $90$ бросков — $10+45=55$ , а ожидаемая общая частота — $0{,}55$ . Это ожидание, а не предсказание точного результата.

Углубление: насколько уменьшается разброс

В схеме Бернулли дисперсия частоты равна $p(1-p)/n$ , а стандартное отклонение — $\sqrt{p(1-p)/n}$ . Чтобы уменьшить это стандартное отклонение вдвое, нужно увеличить число испытаний вчетверо. Уменьшение разброса не является жёсткой границей ошибки каждой серии.

Для независимых одинаково распределённых числовых величин с конечным математическим ожиданием существует и общая версия закона: выборочное среднее приближается к ожиданию. Это более широкое утверждение; формула $p(1-p)/n$ относится именно к частоте индикаторов успеха.

Три примера

При $p=0{,}5$ и $n=100$ стандартное отклонение частоты $\sqrt{0{,}25/100}=0{,}05$ . Это $5$ процентных пунктов, не $5\%$ относительной ошибки.
При тех же условиях, но $n=400$ , стандартное отклонение $0{,}025$ . Число испытаний выросло в четыре раза, разброс уменьшился в два.
После $20$ бросков было $10$ орлов: ошибка частоты нулевая. Следующий орёл даёт $11/21\approx0{,}524$ , и ошибка возрастает. Один такой шаг полностью совместим с законом больших чисел.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P\!\left(\left|\frac{X_n}{n}-p\right|>\varepsilon\right)\longrightarrow0,\qquad n\longrightarrow\infty

Формула словами: Для независимых одинаковых испытаний Бернулли и любого фиксированного ε > 0 частота сходится к p по вероятности.

\operatorname{Var}\!\left(\frac{X_n}{n}\right)=\frac{p(1-p)}{n}

Формула словами: В схеме Бернулли дисперсия частоты убывает обратно пропорционально числу испытаний.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Лаборатория: Большие числа Описательная статистика Формула Бернулли

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.