Округление и точность

Приближение вместо бесконечной записи

Округление заменяет число ближайшим числом выбранной сетки: при двух знаках после запятой её шаг $0{,}01$. Запись $1/3\approx0{,}33$ сообщает о приближении. Знак равенства вместо приближённого равенства означал бы ложное точное утверждение.

При точном попадании посередине в этой статье используется школьное правило: округлять модуль вверх. Так, $1{,}245$ до сотых даёт $1{,}25$, а $-1{,}245$ — $-1{,}25$. Некоторые программы используют другое правило для половин; сравнивая результаты, уточняйте соглашение.

Какая ошибка допустима

При округлении до сотых отклонение не превосходит $0{,}005$, до тысячных — $0{,}0005$. Это абсолютная ошибка в единицах числа. Относительная ошибка делит абсолютную на модуль ненулевого точного значения; для нуля такое отношение не определено.

Округление и отбрасывание цифр различаются. Число $0{,}879$ при округлении до сотых превращается в $0{,}88$, при отбрасывании — в $0{,}87$. В промежуточных вычислениях сохраняйте точность и округляйте итог: многократное округление может изменить последнюю цифру.

Калькулятор выводит много цифр, но это не делает измерение более точным. Если длина измерена до сантиметра, десять дополнительных знаков не несут десяти новых разрядов наблюдений. Частота небольшой серии также не определяет вероятность с высокой точностью благодаря одной длинной записи.

Это авторская подготовительная тема для разных учебных маршрутов; ей не приписано отдельное обязательное место в конкретном классе.

Три примера

1. $2{,}71828$ до тысячных округляется до $2{,}718$, поскольку следующая цифра $2$ меньше $5$.
2. $19/60=0{,}31666\ldots\approx0{,}317$ до тысячных. Абсолютная ошибка меньше $0{,}0005$.
3. Если округлить $2{,}449$ до сотых, затем до десятых, получится $2{,}5$. Прямое округление до десятых даёт $2{,}4$: промежуточный шаг здесь изменил ответ.