Доверительные интервалы
Случайный интервал с заданным покрытием и корректная частотная интерпретация.
Чему научимся
Интервал показывает неопределённость оценки и связывает стандартную ошибку, объём данных, доверительный уровень и предпосылки распределения статистики.
Главная идея. Доверительный интервал — случайная процедура, чьи границы меняются от выборки к выборке. Уровень 95% означает долгосрочное покрытие фиксированного параметра в модели.
План рассуждения и проверка понимания
- Выберите параметр и статистику с известным или обоснованно приближённым распределением, затем задайте уровень до просмотра результата.
- Для среднего нормальной выборки с неизвестным σ используйте S/√n и квантиль t с n − 1 степенями свободы, а не z по привычке.
- Постройте две случайные границы и проверьте направление: повышение доверительного уровня расширяет интервал, увеличение n обычно сужает его.
- Интерпретируйте покрытие как свойство повторяемой процедуры и отдельно обсуждайте устойчивость к тяжёлым хвостам, зависимости и выбросам.
Частая ошибка. После получения интервала говорить, что истинный фиксированный параметр находится в нём с вероятностью 95 процентов в частотном смысле.
Как проверить себя. Случайность относится к границам до наблюдения данных. При повторении процедуры около 95 процентов интервалов накроют параметр; конкретный уже либо накрыл, либо нет.
Наглядная модель: Доверительные интервалы
Случайный интервал с заданным покрытием и корректная частотная интерпретация.
- Диапазон от -3 до 5
- 0: точка отсчёта
- 3: наблюдаемое значение
- Промежуток от 0 (граница включена) до 3 (граница включена) — расстояние между значениями
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Объясните интервал 10 ± 1,96·0,2 при известном σ = 2 и n = 100 и предскажите, что станет с шириной при увеличении n в четыре раза.
В хорошем объяснении есть:
- Стандартная ошибка вычислена как 2/√100 = 0,2.
- Получены границы 9,608 и 10,392.
- При четырёхкратном n ширина уменьшается вдвое.
Случайны границы, не фиксированный параметр
Доверительный интервал — процедура, которая по выборке возвращает две границы. Уровень 95% означает, что при многократном повторении этой процедуры в модели примерно 95% получаемых интервалов накроют фиксированный истинный параметр. После наблюдения конкретного интервала параметр либо внутри, либо снаружи; частотный уровень не является апостериорной вероятностью данного параметра.
Интервалы среднего
При независимой нормальной выборке и известном σ используют нормальный квантиль. При неизвестном σ и n≥2 заменяют его исправленным выборочным S и используют квантиль Стьюдента с n−1 степенями свободы. Точный t-закон требует нормальности; для иных законов такой интервал может быть лишь приближением и чувствителен к тяжёлым хвостам.
Доля и границы
Для биномиальной доли простой симметричный интервал Вальда может выйти за [0,1] и плохо работать возле нуля и единицы. Интервал Уилсона строят обращением score-теста; он учитывает граничные случаи заметно лучше, но его конечновыборочное покрытие не обязано точно равняться номинальному. «Точный» интервал Клоппера–Пирсона имеет другой, консервативный смысл.
Набросок построения
Найдите статистику с известным распределением, например (среднее−μ)/(S/√n) в нормальной модели. Ограничьте её между двумя квантилями и алгебраически выразите допустимые μ. Получается случайный интервал с указанным покрытием.
Широкий интервал показывает неопределённость, а не ошибку вычисления. Увеличение объёма независимой выборки обычно сужает его; повышение доверительного уровня, напротив, расширяет.
Три примера
- При известном σ=2,n=100 и среднем 10 нормальный 95%-интервал приблизительно 10±1,96·0,2, то есть [9,608;10,392].
- Если увеличить n в четыре раза при том же σ и уровне, стандартная ошибка уменьшается вдвое.
- Ноль успехов из десяти не означает, что верхняя граница интервала доли равна нулю: данные совместимы с небольшой положительной вероятностью.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Точный двухсторонний t-интервал среднего для независимой нормальной выборки; S² использует делитель n−1.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.