Ожидание как интеграл
Единое определение среднего для дискретных, непрерывных и смешанных законов.
Чему научимся
Единое определение охватывает дискретные, непрерывные и смешанные законы и ясно показывает, когда знакопеременное среднее конечно, бесконечно или не определено.
Главная идея. Ожидание — интеграл случайной величины по вероятностной мере. Сумма значений с массами и интеграл x·f(x) являются частными случаями одной конструкции.
План рассуждения и проверка понимания
- Для неотрицательной простой функции сложите значения, умноженные на меры её уровней; это базовая модель интеграла.
- Неотрицательную измеримую X приближайте снизу простыми функциями и допускайте бесконечное значение полученного супремума.
- Знакопеременную X разложите на X⁺ и X⁻; конечное обычное ожидание требует конечности обеих частей, то есть E|X| < ∞.
- Для E[g(X)] интегрируйте g по закону X напрямую, а перед переносом предела под E назовите теорему и проверьте её условия.
Частая ошибка. Присваивать симметричному закону Коши ожидание ноль по взаимному сокращению хвостов или без условия менять предел и интеграл местами.
Как проверить себя. У Коши положительная и отрицательная части первого момента расходятся, поэтому возникает неопределённость ∞ − ∞. Для предельного перехода нужно доминирование или другая теорема.
Наглядная модель: Ожидание как интеграл
Единое определение среднего для дискретных, непрерывных и смешанных законов.
- Ожидание как интеграл → Ожидание как интеграл
- Ожидание как интеграл → measures
- Ожидание как интеграл → measurable-variables
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Сравните E[U²] и (E[U])² для U ~ U(0,1): вычислите оба числа и объясните, почему нелинейность не проходит через ожидание.
В хорошем объяснении есть:
- Интеграл x² от 0 до 1 дал 1/3.
- Квадрат среднего равен 1/4.
- Линейность ожидания не распространена на возведение в квадрат.
Сумма и площадь — частные случаи
Для конечного закона мы складываем значения с вероятностными весами. При плотности используем интеграл от x, умноженного на плотность. Интеграл по вероятностной мере объединяет эти способы и работает даже тогда, когда у закона нет ни конечной таблицы, ни плотности.
Определение по ступеням
Для неотрицательной простой функции, постоянной на конечном разбиении, интеграл — сумма значений, умноженных на меры частей. Неотрицательную измеримую функцию приближают снизу простыми; её интеграл определяется как супремум таких интегралов. Он может быть бесконечным.
Знакопеременную X раскладывают на положительную и отрицательную части. Если обе имеют конечное ожидание, X интегрируема и ожидание конечно. Когда хотя бы одна часть конечна, можно определить расширенное ожидание; выражение «бесконечность минус бесконечность» не определено. В этом справочнике конечные моменты всегда сопровождаются условием существования.
Полезный перенос
Чтобы вычислить ожидание g(X), не обязательно сначала находить распределение g(X). Можно интегрировать g по закону X. Линейность для интегрируемых величин не требует независимости. Но переход предела под знак ожидания требует теоремы: например, монотонной сходимости для неотрицательных функций или доминированной сходимости при интегрируемой границе.
Симметрия сама по себе не гарантирует существования ожидания. У стандартного закона Коши симметричные усечённые интегралы дают ноль, однако абсолютный первый момент бесконечен и обычного ожидания нет.
Три примера
- Если X=−2 с вероятностью 1/4 и X=2 с вероятностью 3/4, то E X=−1/2+3/2=1.
- Для U на [0,1] ожидание U² равно интегралу x² от 0 до 1, то есть 1/3. Это не квадрат E U=1/2.
- Если X=5·1_A и P(A)=0,3, то E X=1,5. Индикатор переводит вероятность события в интеграл функции.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Условие абсолютной интегрируемости гарантирует конечное ожидание знакопеременной величины.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.