Умблик
Высшая математика
Совместные распределения
Вероятность и статистика · Совместные распределения

Совместные и условные распределения

Как из таблицы двух величин получить отдельный закон и закон при условии.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Тема учит переходить от полной таблицы зависимости к отдельной координате и к обновлённому закону после информации, не смешивая эти операции.

Главная идея. Совместный закон распределяет вероятности по парам значений. Маргинализация суммирует или интегрирует другую координату, а условный закон фиксирует наблюдение и перенормирует совместные веса.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Проверьте неотрицательность совместных масс и то, что их общая сумма равна единице, затем выберите, какую координату нужно оставить.
  2. Для маргинального закона сложите таблицу по другой координате или проинтегрируйте совместную плотность по ней.
  3. Для условия Y = y с положительной маргинальной массой разделите соответствующий столбец p(x,y) на pY(y) и проверьте, что новая сумма равна единице.
  4. В непрерывном случае используйте отношение плотностей только там, где fY(y) > 0, не подменяя его делением на P(Y = y) = 0.

Частая ошибка. Нормировать каждую ячейку разным знаменателем без фиксации условия или применять школьную формулу P(A|Y=y) к непрерывной точке нулевой вероятности.

Как проверить себя. Сначала фиксируют конкретное y и нормируют весь соответствующий срез одним pY(y). Для непрерывной Y условный закон задаётся версией плотности.

Схема к теме

Наглядная модель: Совместные и условные распределения

Как из таблицы двух величин получить отдельный закон и закон при условии.

Наглядная модель: Совместные и условные распределенияКак из таблицы двух величин получить отдельный закон и закон при условии.Совместные иусловные…random-vectorsconditional-expectationСовместные иусловныераспределения
  • Совместные и условные распределения → Совместные и условные распределения
  • Совместные и условные распределения → random-vectors
  • Совместные и условные распределения → conditional-expectation
Схема связывает понятие «Совместные и условные распределения» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

В таблице с рядами X = 0, 1 и столбцами Y = 0, 1 массы по строкам равны 0,1; 0,2 и 0,3; 0,4. Вычислите P(X = 1), P(Y = 1) и P(X = 1|Y = 1), поясняя каждое действие.

В хорошем объяснении есть:

  • Маргинальная вероятность X = 1 равна 0,7.
  • Маргинальная вероятность Y = 1 равна 0,6.
  • Условная вероятность получена как 0,4/0,6 = 2/3.

Сначала целая таблица

Совместное распределение показывает, какие пары значений появляются вместе. Маргинализация отвечает на вопрос об одной величине, игнорируя другую; условный закон оставляет только случаи, совместимые с наблюдением, и перенормирует веса. Это разные операции.

Дискретные законы

Пусть p(x,y) — неотрицательная таблица с общей суммой 1. Суммы по строкам или столбцам дают маргинальные вероятности. Если наблюдение Y=y имеет положительную вероятность, деление соответствующего столбца на его сумму даёт условный закон X. После деления сумма условных вероятностей должна быть равна 1.

Непрерывное условие

При совместной плотности маргинальную плотность получают интегрированием по другой координате. Отношение совместной и маргинальной плотностей задаёт версию условной плотности там, где знаменатель положителен. Это не школьное деление вероятности пересечения на P(Y=y): для абсолютно непрерывной Y вероятность отдельного значения нулевая. Значения условной версии на исключительном множестве могут не быть единственными.

Набросок проверки и ошибки

Интегрирование или суммирование условного закона, умноженного на маргинальный вес условия, возвращает исходный закон. Это закон полного распределения. Нельзя нормировать каждую ячейку своим знаменателем и затем считать результат одной условной таблицей: сначала зафиксируйте, какая переменная и какое значение известны.

Переход от совместного к условному закону обычно меняет среднее. Такой пересчёт отражает информацию, но сам по себе не доказывает причинного влияния одной величины на другую.

Три примера

  1. В таблице p(0,0)=0,1,p(0,1)=0,2,p(1,0)=0,3,p(1,1)=0,4 получаем P(X=1)=0,7 и P(Y=1)=0,6.
  2. В той же таблице P(X=1|Y=1)=0,4/0,6=2/3. Условная вероятность отличается от безусловной 0,7.
  3. Плотность 2 на треугольнике 0<x<y<1 даёт fY(y)=2y. При y>0 условная X равномерна на (0,y), поэтому её среднее y/2.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

pX(x)=∑ypX,Y(x,y),pX∣Y(x∣y)=pX,Y(x,y)pY(y)p_X(x)=\sum_y p_{X,Y}(x,y),\qquad p_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}

Формула словами: Формула условной массы применяется при pY(y)>0; при плотностях используется аналогичное отношение там, где знаменатель положителен.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.