Вероятностное пространство
Исходы, доступные события и их вероятности — три разные части одной модели.
Чему научимся
Разделение трёх частей заставляет явно задавать, что происходит, что можно спросить и каким весом обладают события, вместо неявной формулы равновозможных исходов.
Главная идея. Вероятностное пространство — тройка (Ω,F,P): Ω содержит исходы, F перечисляет различимые события, а P назначает этим событиям согласованные вероятности.
План рассуждения и проверка понимания
- Выберите пространство элементарных исходов достаточно подробным для задачи, например упорядоченные пары для двух последовательных бросков.
- Определите сигма-алгебру F доступных событий; на конечном пространстве все подмножества являются удобным, но не обязательным выбором.
- Назначьте вероятность P на F, проверив неотрицательность, нормировку и счётную аддитивность для несовместимых событий.
- При переходе к наблюдению объедините исходы с одинаковым значением и сложите их веса, не объявляя новые значения равновероятными.
Частая ошибка. Считать, что три возможных числа орлов в двух бросках автоматически равновероятны, или на непрерывном пространстве делить число благоприятных точек на число всех.
Как проверить себя. Число орлов 1 имеет два прообраза и вероятность 1/2, а 0 и 2 — по 1/4. Для непрерывной модели вероятность задаётся мерой областей, не подсчётом точек.
Наглядная модель: Вероятностное пространство
Исходы, доступные события и их вероятности — три разные части одной модели.
- Вероятностное пространство → Вероятностное пространство
- Вероятностное пространство → kolmogorov-axioms
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Постройте две модели двух бросков монеты — на четырёх парах и на числе орлов — и объясните, как отображение исходов создаёт веса 1/4, 1/2, 1/4.
В хорошем объяснении есть:
- Перечислены четыре упорядоченные пары.
- Две пары дают ровно одного орла.
- Пространство значений отличено от исходного пространства.
Из чего состоит модель
Одного перечня возможных результатов недостаточно. Для броска монеты нужно ещё указать, какие события мы рассматриваем и с какими вероятностями они наступают. Вероятностное пространство объединяет эти решения в тройку. Разные модели могут иметь одно пространство исходов, но разные вероятности.
Строгое определение
— непустое множество исходов; — сигма-алгебра его подмножеств; — вероятность на этой сигма-алгебре. Событием называют именно элемент . Пара называется измеримым пространством; чтобы получить пространство с мерой, нужно добавить меру. На конечном пространстве часто берут все подмножества, но это выбор, а не обязанность.
Один опыт — разные вопросы
При двух бросках монеты удобно использовать четыре упорядоченные пары. Если записывать только число орлов, получаем другое пространство из трёх значений. Оно не равновероятно даже при честных независимых бросках: средний результат имеет два прообраза. Переход от подробного исхода к наблюдению — основа понятия случайной величины.
Проверка модели
Для конечного пространства с полной сигма-алгеброй достаточно задать неотрицательные веса отдельных исходов с суммой 1; вероятность события является суммой его весов. Если не все исходы различимы доступной информацией, веса можно задавать атомам сигма-алгебры. В непрерывном случае равновозможность точек не позволяет применить формулу «число благоприятных / число всех».
Три примера
- На Ω={0,1} веса 0,7 и 0,3 задают нечестную монету. P({1})=0,3, хотя исходов всего два.
- При двух честных независимых бросках число орлов имеет веса 1/4, 1/2, 1/4 для 0,1,2. Три значения не равновероятны.
- Для равномерного выбора на [0,2] вероятность измеримого интервала длины 0,5 равна 0,25; функция вероятности — нормированная длина.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Ω — пространство исходов, F — сигма-алгебра, P — вероятностная мера.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.