Случайные векторы
Несколько наблюдений одного опыта и их совместный закон.
Чему научимся
Векторная модель позволяет считать вероятности областей, изучать зависимость и переходить к условным законам, ковариации и многомерной статистике.
Главная идея. Случайный вектор объединяет несколько числовых наблюдений одного исхода и задаёт их совместный закон. Одни маргинальные распределения не сообщают, как координаты связаны.
План рассуждения и проверка понимания
- Убедитесь, что все координаты заданы на одном Ω; без общего исхода совместное событие и зависимость между величинами ещё не определены.
- Опишите совместный закон массами точек, плотностью по области или CDF F(x₁,…,xd) для координатного прямоугольника.
- Получите маргинальные законы суммированием или интегрированием других координат, отмечая потерю информации о расположении пар.
- Для вероятности области суммируйте или интегрируйте совместный закон; произведение маргинальных вероятностей используйте лишь после независимости.
Частая ошибка. Считать одинаковые маргинальные распределения достаточными для одинакового совместного закона или ожидать двумерную плотность у любой пары непрерывных координат.
Как проверить себя. Пары (U,U) и (U,1−U) имеют одинаковые равномерные маргиналы, но лежат на разных диагоналях и не имеют плотности относительно площади.
Наглядная модель: Случайные векторы
Несколько наблюдений одного опыта и их совместный закон.
- Случайные векторы → Случайные векторы
- Случайные векторы → measurable-variables
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Сравните событие X ≤ 0,4, Y ≤ 0,7 для пар (U,U) и двух независимых U(0,1), объяснив ответы 0,4 и 0,28.
В хорошем объяснении есть:
- Для (U,U) взято более строгое ограничение U ≤ 0,4.
- Для независимой пары перемножены 0,4 и 0,7.
- Одинаковые маргиналы не приравнены к совместному закону.
Один исход — несколько чисел
В эксперименте можно одновременно записать время ожидания и число обращений, очки первого и второго кубиков или несколько измерений объекта. Такой результат описывает случайный вектор. Его компоненты должны быть определены на одном вероятностном пространстве: иначе вопрос об их совместном событии ещё не задан.
Определение
Случайный вектор — измеримое отображение из Ω в евклидово пространство. Для конечной размерности это равносильно измеримости каждой координаты. Закон вектора присваивает вероятности борелевским областям, а совместная функция распределения рассматривает прямоугольники, неограниченные слева по каждой координате.
Что теряют отдельные распределения
Законы каждой координаты называют маргинальными. Они не описывают всю зависимость. Пары (U,U) и (U,1−U) для равномерной U на [0,1] имеют одинаковые равномерные маргинальные законы, но первая лежит на восходящей диагонали, а вторая — на нисходящей. Ни у одной пары нет двумерной плотности относительно площади, хотя каждая координата имеет плотность.
Как считать
В дискретной модели суммируйте массы подходящих точек; при совместной плотности интегрируйте по области. Умножение маргинальных вероятностей требует независимости. Для конечной таблицы проверяйте неотрицательность и сумму всех ячеек 1. Отсутствующая комбинация может иметь нулевую массу, но её нельзя просто забыть при проверке зависимости.
Три примера
- Два независимых честных кубика образуют 36 равновероятных точек. Область X≤2,Y≤3 содержит шесть точек и имеет вероятность 1/6.
- Для пары (U,U) событие X≤0,4,Y≤0,7 равносильно U≤0,4, поэтому его вероятность 0,4.
- Если X и Y независимы и равномерны на [0,1], тот же прямоугольник имеет вероятность 0,4·0,7=0,28. Одинаковые маргинальные законы не дали одинакового результата.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Совместная CDF задаёт вероятность одновременного выполнения всех координатных ограничений.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.