Случайные процессы
Семейство случайных величин, индексированное временем, и различие закона и траектории.
Чему научимся
Процессная точка зрения отделяет один наблюдённый путь от закона всех путей и позволяет описывать временную зависимость, стационарность и приращения.
Главная идея. Случайный процесс {Xt:t∈T} — семейство величин на одном вероятностном пространстве. Фиксация t даёт случайную величину, а фиксация исхода ω — целую траекторию.
План рассуждения и проверка понимания
- Отдельно задайте множество времён T и пространство состояний: дискретность времени не обязывает состояния быть дискретными и наоборот.
- Различайте маргинальный закон Xt, конечномерные совместные законы в нескольких временах и конкретную реализацию t ↦ Xt(ω).
- Для зависимости вычисляйте совместные характеристики, например K(s,t) = Cov(Xs,Xt), только при конечных вторых моментах.
- При заявлении стационарности укажите её вид: строгая сохраняет все конечномерные законы, слабая — среднее и ковариацию по разности времён.
Частая ошибка. Восстанавливать закон процесса по одной траектории или по одинаковым одномерным распределениям во все моменты и путать стационарные приращения со стационарным процессом.
Как проверить себя. Независимые биты и постоянный процесс Xt = Z имеют одинаковые маргиналы, но разную временную связь. У пуассоновского счётчика приращения стационарны, а среднее λt растёт.
Наглядная модель: Случайные процессы
Семейство случайных величин, индексированное временем, и различие закона и траектории.
- 1. Наблюдаем — фиксируем текущее состояние
- 2. Переходим — применяем правило перехода
- 3. Проверяем — сравниваем вероятности исходов
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
Сравните последовательность независимых честных битов и процесс Xt = Z с одной общей Бернулли: какие маргиналы совпадают и как различаются траектории и ковариации.
В хорошем объяснении есть:
- В каждый момент обе модели имеют распределение Бернулли с параметром 1/2.
- В постоянном процессе один бит определяет все времена.
- Одинаковые одномерные законы не признаны законом процесса.
Случайность во времени
Одно измерение задаёт случайную величину, несколько — случайный вектор. Процесс описывает целое семейство наблюдений, индексированных временем или другим параметром. Индекс может быть дискретным, например номер шага, или непрерывным. Пространство состояний тоже может быть дискретным или непрерывным — это отдельный выбор.
Закон и реализация
Если зафиксировать время t, получим случайную величину Xt. Если зафиксировать исход ω, получим траекторию t↦Xt(ω). Один нарисованный путь — лишь одна реализация; он не определяет вероятности остальных путей. Конечномерные распределения задают совместные законы в любых конечных наборах времён.
Зависимость между временами
Даже одинаковые одномерные распределения во все моменты не задают весь процесс. Последовательность независимых честных битов и постоянный процесс Xt=Z с одной честной Бернулли имеют одинаковые маргинальные законы, но совершенно разные траектории. Ковариационная функция описывает часть временной зависимости, если моменты существуют.
Стационарность и приращения
Строгая стационарность означает неизменность всех конечномерных законов при общем сдвиге времени. Слабая стационарность требует постоянного среднего и ковариации, зависящей только от разности времён. Без вторых моментов такое определение не применяется. Стационарные приращения не означают стационарность самого процесса: у пуассоновского счётчика среднее растёт со временем.
Для непрерывного времени дополнительно изучают регулярность траекторий и измеримость по паре (t,ω). Здесь рассматриваются конкретные модели с явно заданными путями; полный курс теории процессов значительно шире.
Три примера
- Сумма Sn независимых шагов ±1 — случайное блуждание. Время дискретно, состояния целочисленные.
- Счётчик N(t) пуассоновских событий имеет непрерывное время, но целочисленные состояния и ступенчатые траектории.
- У процесса Xt=Z с Var(Z)=4 ковариация любых двух времён равна 4: прошлое полностью определяет будущее.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Все Xt заданы на одном пространстве; ковариационная функция требует конечных вторых моментов.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.