Показательные и логарифмические уравнения и неравенства · 11 класс

Главная идея

Что нужно понять

Равенство logₐb = c означает aᶜ = b; при этом a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов, а логарифм степени позволяет вынести показатель множителем.

В показательном уравнении стремятся привести обе части к одному основанию или вводят замену для повторяющейся степени. Монотонность aˣ зависит от того, больше или меньше единицы основание a.

В логарифмическом уравнении сначала записывают положительность всех аргументов. При переходе от неравенства логарифмов к аргументам знак сохраняется при a > 1 и меняется при 0 < a < 1.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Логарифм отвечает на вопрос о показателе степени. Поэтому произведение внутри логарифма превращается в сумму показателей, а степень — в множитель перед логарифмом. Все преобразования требуют положительного аргумента.

Опорная формула

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

Формула словами

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей при одном и том же допустимом основании.

Свойство логарифма произведения.

Расшифровка

Обозначения и термины

logₐ b: степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b
a: основание: a > 0 и a ≠ 1
b: аргумент: b > 0
ln x: логарифм по основанию e

Алгоритм

Как решать задачи

проверить область допустимых значений
привести выражения к одному основанию
решить полученное уравнение и проверить корни

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите log₂x = 3.

Перейдём к показательной форме: x = 2³.
Условие x > 0 выполнено.

Ответ: 8

Пример 2

Решите log₂(x − 1) = 3.

ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
Переходим к степени: x − 1 = 2³ = 8.
x = 9 удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 9

Самопроверка

Типичные ошибки

забывать условие положительности аргумента
раскладывать логарифм суммы как сумму логарифмов
использовать основание 1