Производная и исследование функций · 11 класс

Главная идея

Что нужно понять

Производная в точке — предел отношения приращения функции к приращению аргумента; геометрически это угловой коэффициент касательной.

Знак производной определяет промежутки возрастания и убывания, а критические точки дают кандидатов на экстремум.

Производная показывает мгновенную скорость изменения и угловой коэффициент касательной. Её знак определяет промежутки возрастания и убывания функции.

Критические точки дают только кандидатов на экстремум. Нужно исследовать смену знака производной, а на отрезке дополнительно сравнить значения в критических точках и на концах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Средняя скорость на отрезке равна отношению приращений. Если стягивать отрезок к одной точке, секущая превращается в касательную, а средняя скорость — в мгновенную. Так предел отношения приращений даёт производную.

Опорная формула

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Формула словами

Производная f в точке x — это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда это изменение стремится к нулю.

Определение производной функции.

Расшифровка

Обозначения и термины

f′(x): производная функции в точке x
Δx: приращение аргумента
Δf: соответствующее приращение функции
f′(x) = 0: условие для внутренней критической точки

Алгоритм

Как решать задачи

найти область определения
вычислить производную и критические точки
исследовать знак производной

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите минимум функции f(x) = x² − 4x + 7.

f′(x) = 2x − 4, поэтому критическая точка x = 2.
Парабола направлена вверх; f(2) = 4 − 8 + 7.

Ответ: Минимум равен 3 при x = 2

Пример 2

Исследуйте возрастание функции f(x) = x² − 6x.

f′(x) = 2x − 6.
Производная отрицательна при x < 3 и положительна при x > 3.
Знак меняется с минуса на плюс.

Ответ: Убывает до x = 3, затем возрастает; минимум при x = 3

Самопроверка

Типичные ошибки

приравнивать к нулю саму функцию вместо производной
не проверять концы отрезка
считать каждую критическую точку максимумом