Первообразная и определённый интеграл · 11 класс

$Умблик показывает математические модели на доске$

Посмотрите на идеюПервообразная и определённый интеграл

На рисунке правило превращается в модель: отметьте известные элементы, связь между ними и только затем переходите к буквенной записи.

Главная идея

Что нужно понять

Первообразная F для функции f удовлетворяет равенству F′ = f. Определённый интеграл равен приращению первообразной на концах отрезка.

Сначала находят первообразную, затем подставляют верхний и нижний пределы в правильном порядке.

Первообразная F удовлетворяет F′ = f и определена с точностью до постоянной C. Определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница равен F(b) − F(a).

Интеграл учитывает знак функции, поэтому геометрическая площадь может потребовать разбиения в точках пересечения с осью и сложения модулей интегралов на отдельных промежутках.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Определённый интеграл складывает площади очень узких прямоугольников. Чем уже разбиение, тем точнее сумма; в пределе получается точное накопленное значение. Формула Ньютона—Лейбница связывает это суммирование с обратной операцией к производной.

Схема к теме

Алгоритм: Первообразная и определённый интеграл

1. Найти — первообразную
2. Вычислить — её значения на концах
3. Из верхнего — значения вычесть нижнее

Шаги расположены в том порядке, в котором их нужно выполнять. Вывод: Сначала находят первообразную, затем подставляют верхний и нижний пределы в правильном порядке.

Опорная формула

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Формула словами

Интеграл функции f от a до b равен значению её первообразной в точке b минус значение той же первообразной в точке a.

Формула Ньютона—Лейбница.

Расшифровка

Обозначения и термины

∫: знак суммирования непрерывных величин
a, b: нижний и верхний пределы
f(x): подынтегральная функция
dx: переменная, по которой выполняется интегрирование

Алгоритм

Как решать задачи

найти первообразную
вычислить её значения на концах
из верхнего значения вычесть нижнее

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите ∫₀² x dx.

Первообразная для x равна x²/2.
Подставим пределы: 2²/2 − 0²/2.

Ответ: 2

Пример 2

Вычислите ∫₁³ 2x dx.

Первообразная для 2x равна x².
Подставляем пределы: 3² − 1².
Получаем 9 − 1.

Ответ: 8

Самопроверка

Типичные ошибки

забывать постоянную при неопределённом интеграле
переставлять пределы без смены знака
считать площадь всегда равной интегралу без учёта знака

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Представьте, что вы объясняете тему «Первообразная и определённый интеграл» ученику младше вас. Расскажите, что означает правило, почему оно работает и как не допустить первую типичную ошибку: забывать постоянную при неопределённом интеграле

В хорошем объяснении есть:

Вы объяснили главную идею без дословного пересказа: Первообразная F для функции f удовлетворяет равенству F′ = f. Определённый интеграл равен приращению первообразной на концах отрезка.
Вы расшифровали математическую запись словами: Интеграл функции f от a до b равен значению её первообразной в точке b минус значение той же первообразной в точке a.
Вы придумали собственный пример, выполнили алгоритм и проверили, соответствует ли ответ условию.

Закрепление материала

Мини-тест

Выберите ответ на каждый вопрос. Объяснения откроются после проверки.

Открываем мини-тест…