Первообразная и определённый интеграл · 11 класс

Главная идея

Что нужно понять

Первообразная F для функции f удовлетворяет равенству F′ = f. Определённый интеграл равен приращению первообразной на концах отрезка.

Сначала находят первообразную, затем подставляют верхний и нижний пределы в правильном порядке.

Первообразная F удовлетворяет F′ = f и определена с точностью до постоянной C. Определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница равен F(b) − F(a).

Интеграл учитывает знак функции, поэтому геометрическая площадь может потребовать разбиения в точках пересечения с осью и сложения модулей интегралов на отдельных промежутках.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Определённый интеграл складывает площади очень узких прямоугольников. Чем уже разбиение, тем точнее сумма; в пределе получается точное накопленное значение. Формула Ньютона—Лейбница связывает это суммирование с обратной операцией к производной.

Опорная формула

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Формула словами

Интеграл функции f от a до b равен значению её первообразной в точке b минус значение той же первообразной в точке a.

Формула Ньютона—Лейбница.

Расшифровка

Обозначения и термины

∫: знак суммирования непрерывных величин
a, b: нижний и верхний пределы
f(x): подынтегральная функция
dx: переменная, по которой выполняется интегрирование

Алгоритм

Как решать задачи

найти первообразную
вычислить её значения на концах
из верхнего значения вычесть нижнее

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Вычислите ∫₀² x dx.

Первообразная для x равна x²/2.
Подставим пределы: 2²/2 − 0²/2.

Ответ: 2

Пример 2

Вычислите ∫₁³ 2x dx.

Первообразная для 2x равна x².
Подставляем пределы: 3² − 1².
Получаем 9 − 1.

Ответ: 8

Самопроверка

Типичные ошибки

забывать постоянную при неопределённом интеграле
переставлять пределы без смены знака
считать площадь всегда равной интегралу без учёта знака